微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 4 y = 4 e^{- x}$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

ステップ 2.4

$e^{r x}$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} - 4 e^{r x} = 4 e^{- x}$

ステップ 2.4.2

$e^{r x}$ を $- 4 e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4 = 4 e^{- x}$

ステップ 2.4.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 4$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 4) = 4 e^{- x}$

ステップ 2.5

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} - 4 = 4 e^{- x}$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$r^{2} = 4 e^{- x} + 4$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{4 e^{- x} + 4}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ を $4 e^{- x} + 4$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.1.1

$4$ を $4 e^{- x}$ で因数分解します。

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4}$

ステップ 3.3.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x}) + 4 (1)}$

ステップ 3.3.1.3

$4$ を $4 (e^{- x}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$r = \pm \sqrt{4 (e^{- x} + 1)}$

ステップ 3.3.2

$4 (e^{- x} + 1)$ を $2^{2} (e^{- x} + 1^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1)}$

ステップ 3.3.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt{2^{2} (e^{- x} + 1^{2})}$

ステップ 3.3.3

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1^{2}}$

ステップ 3.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$r = \pm 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

$r = - 2 \sqrt{e^{- x} + 1}$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

$y_{2} = e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{2 \sqrt{e^{- x} + 1} x} + c_{2} e^{- 2 \sqrt{e^{- x} + 1} x}$

微分積分 例

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