微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + \frac{4}{x}$ , $y (0) = 1$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (5 x^{2} + \frac{4}{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + \frac{4}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

ステップ 2.3.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int \frac{4}{x} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{4}{x} d x$

ステップ 2.3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

簡約します。

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.3.6.2

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{5}{3} x^{3} + 4 \ln (| x |) + C$ の $0$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$ として書き換えます。

$\frac{5}{3} \cdot 0^{3} + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{5}{3} \cdot 0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{5}{3}$ に $0$ をかけます。

$0 + 4 \ln (| 0 |) + C = 1$

ステップ 4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$0 + 4 \ln (0) + C = 1$

ステップ 4.2.2

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

微分積分 例

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