微分積分例

$(x y + y^{2}) d y = y^{2} d x$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $y^{2} d x$ を引きます。

$(x y + y^{2}) d y - y^{2} d x = 0$

ステップ 1.2

書き換えます。

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

ステップ 2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

ステップ 3

$N (x, y) = x y + y^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x y + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.3.3

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

ステップ 3.4.2

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$- 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 y = y$

ステップ 4.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 2 y = y$ は恒等式ではありません。

ステップ 5

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 5.2

$- 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{y - (- 2 y)}{M}$

ステップ 5.3

$- y^{2}$ を $M$ に代入します。

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ステップ 5.3.1

$- y^{2}$ を $M$ に代入します。

$\frac{y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$y$ を $y - (- 2 y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{1} - (- 2 y)}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot 1 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.3

$y$ を $- (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{y \cdot 1 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.2.1.4

$y$ を $y \cdot 1 + y (- (- 2))$ で因数分解します。

$\frac{y (1 - (- 2))}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{y (1 + 2)}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y \cdot 3}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.3

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

$y$ を $y \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{y (3)}{- y^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (3)}{y (- y)}$

ステップ 5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y \cdot 3}{y (- y)}$

ステップ 5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{- y}$

ステップ 5.3.4

$- y^{2}$ を $M$ に代入します。

$- \frac{3}{y}$

ステップ 5.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

ステップ 6

積分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

ステップ 6.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 6.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 6.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 6.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

ステップ 6.6

各項を簡約します。

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ステップ 6.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

ステップ 6.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

ステップ 6.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

ステップ 7

$- y^{2} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$- y^{2}$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$- y^{2} \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$y^{2}$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{3}} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2.2

$y^{2}$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2.3

共通因数を約分します。

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) d y = 0$

ステップ 7.3

$x y + y^{2}$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$- \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7.4

$x y + y^{2}$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x y + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7.5

$y$ を $x y + y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.5.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7.5.2

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y x + y \cdot y}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7.5.3

$y$ を $y x + y \cdot y$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7.6

共通因数を約分します。

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ステップ 7.6.1

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

ステップ 7.6.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{y (x + y)}{y \cdot y^{2}} d y = 0$

ステップ 7.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 8

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

ステップ 9

$M (x, y) = - \frac{1}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 9.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

ステップ 9.2

$x$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

ステップ 10

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 12.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.2

総和則では、 $- \frac{x}{y} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ の値を求めます。

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ステップ 12.3.1

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- \frac{x}{y}$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.3.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.5

簡約します。

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ステップ 12.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.5.2

$x$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 12.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

ステップ 13

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 13.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 13.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{x + y}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.4

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.5

$0$ から $y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.6.1

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.6.1.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

ステップ 13.1.1.6.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.6.1.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

ステップ 13.1.1.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

ステップ 13.1.1.6.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

ステップ 13.1.1.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

ステップ 13.1.2

方程式の両辺に $\frac{1}{y}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

ステップ 14

$\frac{1}{y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 14.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 14.3

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$g (y) = \ln (| y |) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$

微分積分 例

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