微分積分例

$(y^{2} - 1) x d x + (x^{2} + 3) y d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(y^{2} - 1) x d x$ を引きます。

$(x^{2} + 3) y d y = - (y^{2} - 1) x d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{2} + 3$ を $(x^{2} + 3) y$ で因数分解します。

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) (y)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((x^{2} + 3) y) d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{y^{2} - 1}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} (- (y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.5

$y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- \frac{1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.5.2

$y^{2} - 1$ を $(x^{2} + 3) (y^{2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.5.3

$y^{2} - 1$ を $(y^{2} - 1) x$ で因数分解します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) (x)) d x$

ステップ 3.5.4

共通因数を約分します。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)} ((y^{2} - 1) x) d x$

ステップ 3.5.5

式を書き換えます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 3} x d x$

ステップ 3.6

$\frac{- 1}{x^{2} + 3}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ とします。次に $d u_{1} = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$(y + 1) (y - 1)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

ステップ 4.2.1.1.2

$f (y) = y + 1$ および $g (y) = y - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.1

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.3

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.4.2

$y + 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 4.2.1.1.3.5

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 4.2.1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

ステップ 4.2.1.1.3.7

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

ステップ 4.2.1.1.3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.2

$y - 1$ に $1$ をかけます。

$y + 1 + y - 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.3

$y$ と $y$ をたし算します。

$2 y + 1 - 1$

ステップ 4.2.1.1.3.8.4

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.3.8.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$2 y + 0$

ステップ 4.2.1.1.3.8.4.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 4.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.2.2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $(y + 1) (y - 1)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

ステップ 4.3.2

$u_{2} = x^{2} + 3$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$u_{2} = x^{2} + 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$x^{2} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

ステップ 4.3.2.1.2

総和則では、 $x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.3.2.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 4.3.2.1.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 4.3.2.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 4.3.3.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 4.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 4.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y + 1) (y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.2

$- 1$ を $y$ の左に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.3

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| y^{2} - 1 |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$\ln (| x^{2} + 3 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C)$

ステップ 5.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 5.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 3 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

ステップ 5.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + C \cdot 2$

ステップ 5.2.2.1.4

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} + 3 |) + 2 C$

ステップ 5.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} + 3 |) = 2 C$

ステップ 5.4

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} + 3 |) = 2 C$

ステップ 5.5

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} + 3) |) = 2 C$

ステップ 5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(y^{2} - 1) (x^{2} + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} (x^{2} + 3) - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

ステップ 5.6.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 (x^{2} + 3) |) = 2 C$

ステップ 5.6.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

ステップ 5.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

ステップ 5.7.2

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 1 \cdot 3 |) = 2 C$

ステップ 5.7.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$

ステップ 5.8

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |)} = e^{2 C}$

ステップ 5.9

対数の定義を利用して $\ln (| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 |$

ステップ 5.10

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.1

方程式を $| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$ として書き換えます。

$| y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 | = e^{2 C}$

ステップ 5.10.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - x^{2} - 3 = \pm e^{2 C}$

ステップ 5.10.3

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.10.3.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} - 3 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

ステップ 5.10.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y^{2} x^{2} + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

ステップ 5.10.4

$y^{2}$ を $y^{2} x^{2} + 3 y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.10.4.1

$y^{2}$ を $y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} (x^{2}) + 3 y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

ステップ 5.10.4.2

$y^{2}$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3 = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

ステップ 5.10.4.3

$y^{2}$ を $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$

ステップ 5.10.5

$y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ の各項を $x^{2} + 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.10.5.1

$y^{2} (x^{2} + 3) = \pm e^{2 C} + x^{2} + 3$ の各項を $x^{2} + 3$ で割ります。

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

ステップ 5.10.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.10.5.2.1

$x^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.10.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

ステップ 5.10.5.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{x^{2} + 3} + \frac{x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

ステップ 5.10.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.10.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{x^{2} + 3} + \frac{3}{x^{2} + 3}$

ステップ 5.10.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}$

ステップ 5.10.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$

ステップ 5.10.7

$\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ を簡約します。

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ステップ 5.10.7.1

$\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}{x^{2} + 3}}$ を $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

ステップ 5.10.7.2

$\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$

ステップ 5.10.7.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.10.7.3.1

$\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ に $\frac{\sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{\sqrt{x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}$

ステップ 5.10.7.3.2

$\sqrt{x^{2} + 3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} \sqrt{x^{2} + 3}}$

ステップ 5.10.7.3.3

$\sqrt{x^{2} + 3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 3}}^{1}}$

ステップ 5.10.7.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.10.7.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}}$

ステップ 5.10.7.3.6

${\sqrt{x^{2} + 3}}^{2}$ を $x^{2} + 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.10.7.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 3}$ を ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{({(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.10.7.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.10.7.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.10.7.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.10.7.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.10.7.3.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{{(x^{2} + 3)}^{1}}$

ステップ 5.10.7.3.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} + 3} \sqrt{x^{2} + 3}}{x^{2} + 3}$

ステップ 5.10.7.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} + 3) (x^{2} + 3)}}{x^{2} + 3}$

微分積分 例

微分積分例