微分積分例

$\frac{d P}{d t} = 2 e^{3 t}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d P = 2 e^{3 t} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d P = \int 2 e^{3 t} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$P + C_{1} = \int 2 e^{3 t} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$P + C_{1} = 2 \int e^{3 t} d t$

ステップ 2.3.2

$u = 3 t$ とします。次に $d u = 3 d t$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 3 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$3 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t]$

ステップ 2.3.2.1.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$P + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 2.3.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$P + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$P + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{3}$ と $2$ をまとめます。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 2.3.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$P + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 t} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$P = \frac{2}{3} e^{3 t} + K$

微分積分 例

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