微分積分例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$ , $y (0) = 9$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y + 3 x \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.1.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y - 3 x = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $3 x y$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 3 x = - 3 x y$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $3 x$ を足します。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x}$ を ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y + 3 x$

ステップ 1.1.3.4

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$

ステップ 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ の各項を $x^{2} + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ の各項を $x^{2} + 1$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y + 3 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.1

$3 x$ を $- 3 x y + 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.2.1.1

$3 x$ を $- 3 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.2

$3 x$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x (1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2.1.3

$3 x$ を $3 x (- 1 y) + 3 x (1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2.2

$- 1 y$ を $- y$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.3.1

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.3.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.3.3

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.3.3.4.1

$- (y - 1)$ を $- 1 (y - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.3.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x) (y - 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

ステップ 1.4.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$- \frac{1}{y - 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

ステップ 1.4.2.2

$y - 1$ を $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

ステップ 1.4.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

ステップ 1.4.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.4

$u_{2} = x^{2} + 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u_{2} = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.3.4.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.4.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.4.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 2.3.4.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.5.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

ステップ 3.1.1.2

$3$ を $\ln (| x^{2} + 1 |)$ の左に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

ステップ 3.2

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y - 1 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.3

$\ln (| y - 1 |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\ln (| y - 1 |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.5

$2$ を $\ln (| y - 1 |)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.6

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y - 1 |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.6.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y - 1 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

ステップ 3.6.1.1.3

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ を簡約します。

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

ステップ 3.6.1.1.4

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

ステップ 3.6.1.2

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

ステップ 3.6.1.3

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ を簡約します。

$\ln ({({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.4

積の法則を ${(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ に当てはめます。

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.5

${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.5.2.2

式を書き換えます。

$\ln ({(y - 1)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.6

簡約します。

$\ln ((y - 1) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.7

${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

ステップ 3.6.1.7.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.8

分配則を当てはめます。

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

ステップ 3.6.1.9

$- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ を $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

ステップ 3.7

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

ステップ 3.8

対数の定義を利用して $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.9

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

方程式を $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ として書き換えます。

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

ステップ 3.9.2

方程式の両辺に ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ を足します。

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 3.9.3

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ の各項を ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.1

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ の各項を ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ で割ります。

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.9.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.9.3.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.9.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ の $0$ を $x$ に、 $9$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$9 = \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$ として書き換えます。

$\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 9$

ステップ 6.2

方程式の両辺に ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.1.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$C + {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.1.1.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$C + {| 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.1.1.2.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$C + 1^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.1.1.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$C + 1 = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$C + 1 = {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$C + 1 = {| 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$C + 1 = 1^{\frac{3}{2}} \cdot 9$

ステップ 6.3.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$C + 1 = 1 \cdot 9$

ステップ 6.3.2.1.5

$9$ に $1$ をかけます。

$C + 1 = 9$

ステップ 6.4

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$C = 9 - 1$

ステップ 6.4.2

$9$ から $1$ を引きます。

$C = 8$

ステップ 7

$8$ を $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$8$ を $C$ に代入します。

$y = \frac{8 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{2^{3} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.2

${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ を ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}$ に書き換えます。

$y = \frac{2^{3} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{3}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.3

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ です。

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2^{2} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.4

簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.4.2

${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.4.2.2.2

式を書き換えます。

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} + 1 |}^{1})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.4.3

簡約します。

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} + | x^{2} + 1 |)}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 7.2.4.4

項を並べ替えます。

$y = \frac{(2 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) (4 + | x^{2} + 1 | - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例