微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t + 1}{y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t + 1}{y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d t} = 3 t + 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = (3 t + 1) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int 3 t + 1 d t$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t + 1 d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t d t + \int d t$

ステップ 2.3.2

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t d t + \int d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int d t$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + t + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 t^{2}}{2} + t + C_{4}$

ステップ 2.3.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} t^{2} + t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{2} t^{2} + t + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{3}{2} t^{2} + t + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{3}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{3 t^{2}}{2} + t + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 3 t^{2} + 2 t + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$

$y = - \sqrt{3 t^{2} + 2 t + K}$

微分積分 例

微分積分例