微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x$

ステップ 1

$P (x) = 4$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 4 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{4 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{4 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{4 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $e^{4 x}$ を掛けます。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} (2 x)$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} (2 x)$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$

ステップ 2.4

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = 2 e^{4 x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = 2 x e^{4 x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = 2 x e^{4 x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int 2 x e^{4 x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{4 x} y = \int 2 x e^{4 x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 x} y = 2 \int x e^{4 x} d x$

ステップ 6.2

$u = x$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{4 x} y = 2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$e^{4 x} y = 2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 6.3.2

$x$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 6.3.3

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

ステップ 6.4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

ステップ 6.5

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 6.5.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 6.5.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 6.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

ステップ 6.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

ステップ 6.7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

ステップ 6.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

ステップ 6.10

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ を $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 6.11

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

ステップ 6.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.12.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

ステップ 6.12.1.2

$\frac{x}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

ステップ 6.12.1.3

$e^{4 x}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$e^{4 x} y = 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 6.12.2

分配則を当てはめます。

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 6.12.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.12.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 6.12.3.2

共通因数を約分します。

$e^{4 x} y = 2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 6.12.3.3

式を書き換えます。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 6.12.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.12.4.1

$- \frac{e^{4 x}}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

ステップ 6.12.4.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

ステップ 6.12.4.3

共通因数を約分します。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

ステップ 6.12.4.4

式を書き換えます。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

ステップ 6.12.5

分数の前に負数を移動させます。

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

ステップ 6.13

項を並べ替えます。

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

ステップ 7

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ の各項を $e^{4 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{4 x} y = \frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$ の各項を $e^{4 x}$ で割ります。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{4 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

$e^{4 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.1.1.2

$\frac{1}{2} x$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.1.2

$e^{4 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{8} e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- \frac{1}{8}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2} x$ から $\frac{1}{8}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ を並べ替えます。

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.2.2

$x \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.2.3

$x \frac{1}{2}$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8}{8} - \frac{1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

$x$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 8 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (4)) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 4) - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{x \cdot 4 - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.3.3

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{4 x - 1}{8} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.4

$\frac{4 x - 1}{8}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ を掛けます。

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

ステップ 7.3.5

$\frac{C}{e^{4 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y = \frac{4 x - 1}{8} \cdot \frac{e^{4 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 7.3.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8 e^{4 x}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.6.1

$\frac{4 x - 1}{8}$ に $\frac{e^{4 x}}{e^{4 x}}$ をかけます。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 7.3.6.2

$\frac{C}{e^{4 x}}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{e^{4 x} \cdot 8}$

ステップ 7.3.6.3

$e^{4 x} \cdot 8$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x}}{8 e^{4 x}} + \frac{C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

ステップ 7.3.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(4 x - 1) e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

ステップ 7.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.8.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4 x e^{4 x} - 1 e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

ステップ 7.3.8.2

$- 1 e^{4 x}$ を $- e^{4 x}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + C \cdot 8}{8 e^{4 x}}$

ステップ 7.3.8.3

$8$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{4 x e^{4 x} - e^{4 x} + 8 C}{8 e^{4 x}}$

微分積分 例

微分積分例