微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 16 y = 0$

ステップ 1

すべての解が $y = e^{r x}$ の形と仮定します。

ステップ 2

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 16 y = 0$ の特性方程式を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

ステップ 2.3

微分方程式に代入します。

$r^{2} e^{r x} - 16 e^{r x} = 0$

ステップ 2.4

$e^{r x}$ を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$e^{r x}$ を $r^{2} e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} - 16 e^{r x} = 0$

ステップ 2.4.2

$e^{r x}$ を $- 16 e^{r x}$ で因数分解します。

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 16 = 0$

ステップ 2.4.3

$e^{r x}$ を $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot - 16$ で因数分解します。

$e^{r x} (r^{2} - 16) = 0$

$e^{r x} (r^{2} - 16) = 0$

ステップ 2.5

指数関数はゼロにならないので、両辺を $e^{r x}$ で割ります。

$r^{2} - 16 = 0$

$r^{2} - 16 = 0$

ステップ 3

$r$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$r^{2} = 16$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{16}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm 4$

$r = \pm 4$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = 4$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - 4$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = 4, - 4$

$r = 4, - 4$

$r = 4, - 4$

ステップ 4

$r$ の値を2つ求めて、解を2つ構築します。

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

ステップ 5

重ね合わせの原理により、一般解は2次の同次線形微分方程式の2つの解の線形結合になります。

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$