微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y = 10$

ステップ 1

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 10$

ステップ 2.2

$10$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 10 \cdot e^{x}$

ステップ 2.3

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 10 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 10 e^{x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 10 e^{x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 10 e^{x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x} y = \int 10 e^{x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$e^{x} y = 10 \int e^{x} d x$

ステップ 6.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} y = 10 (e^{x} + C)$

ステップ 6.3

簡約します。

$e^{x} y = 10 e^{x} + C$

ステップ 7

$e^{x} y = 10 e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{x} y = 10 e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{10 e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3.1.2

$10$ を $1$ で割ります。

$y = 10 + \frac{C}{e^{x}}$

微分積分 例

微分積分例