微分積分例

$2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

ステップ 1.2

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

ステップ 1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

ステップ 2

$N (x, y) = y^{2} - x^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} - x^{2}]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $y^{2} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - (2 x)$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 x$

ステップ 2.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 x = - 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 x = - 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$2 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 x - (2 x)}{M}$

ステップ 4.3

$2 x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 x y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 x - (2 x)}{2 x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$x$ を $- 2 x - 1 \cdot 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 2 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

ステップ 4.3.2.1.2

$x$ を $- 1 \cdot 2 x$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

ステップ 4.3.2.1.3

$x$ を $x \cdot - 2 + x (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{x (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x (- 2 - 2)}{2 x y}$

ステップ 4.3.2.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot - 4}{2 x y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{2 y}$

ステップ 4.3.4

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (y)}$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 y}$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.5

$2 x y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$2 x y d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 x y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$2 x y \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$y (2 x) \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.2

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.3

共通因数を約分します。

$y (2 x) \frac{1}{y \cdot y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.4

式を書き換えます。

$2 x \frac{1}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

$2$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$x \frac{2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4

$x$ と $\frac{2}{y}$ をまとめます。

$\frac{x \cdot 2}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.5

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.6

$y^{2} - x^{2}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x}{y} d x + (y^{2} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7

$y^{2} - x^{2}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{2 x}{y} d x + \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{2 x}{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{2 x}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{2}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2}{y} \int x d x$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{2}{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $\frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{2}{y} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{2}{y}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{2}{y \cdot 2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot y} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3

$2$ に $y$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2}{2 y} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.4.2

式を書き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.5

$\frac{1}{y}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y} + g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{x^{2}}{y} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x^{2}}{y}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x^{2} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2

$x^{2}$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺から $\frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{(y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y + x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + (- y - x) (y - x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- y - x) (y - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y (y - x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x (y - x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y \cdot y - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.3.1.1

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.3.1.1.1

$y$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - (y \cdot y) - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - y (- x) - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 1 y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.4

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - x (- x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.3.1.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y - 1 \cdot - 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.1.8

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + y x - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.2

$y x$ から $x y$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.3.3.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x y - x y + x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.2.2

$x y$ から $x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + 0 + x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.3.3.3

$- y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} - y^{2} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$- x^{2} - y^{2} + x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.4.1

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2} + 0}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.4.2

$- y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = 1$

ステップ 13

$1$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 1$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int d y$

ステップ 13.3

定数の法則を当てはめます。

$g (y) = y + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{y} + y + C$

微分積分 例

微分積分例