微分積分例

$(x - 2 y) d x + (2 y - 2 x) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x - 2 y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x - 2 y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

ステップ 1.2.2

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

ステップ 1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 y - 2 x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 2 x]$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 y - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.2.2

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2$

ステップ 2.4

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$- 2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 = - 2$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 2 = - 2$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x - 2 y d x$

ステップ 5

$M (x, y) = x - 2 y$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int x d x + \int - 2 y d x$

ステップ 5.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 y d x$

ステップ 5.3

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 y x + C$

ステップ 5.4

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + C$

ステップ 6

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y - 2 x$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 8.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)] = 2 y - 2 x$

ステップ 8.2

微分します。

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ステップ 8.2.1

総和則では、 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{2} x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d y} [- 2 y x]$ の値を求めます。

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ステップ 8.3.1

$- 2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y x$ の微分係数は $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

ステップ 8.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

ステップ 8.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y - 2 x$

ステップ 8.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 - 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

ステップ 8.5

簡約します。

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ステップ 8.5.1

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x + \frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - 2 x = 2 y - 2 x$

ステップ 9

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 9.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.1.1

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$\frac{d g}{d y} = 2 y - 2 x + 2 x$

ステップ 9.1.2

$2 y - 2 x + 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 9.1.2.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

ステップ 9.1.2.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

ステップ 10

$2 y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y} = 2 y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 2 y d y$

ステップ 10.3

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = 2 \int y d y$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

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ステップ 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ に書き換えます。

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

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ステップ 10.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (y) = 1 y^{2} + C$

ステップ 10.5.2.3

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (y) = y^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 y x + y^{2} + C$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - 2 y x + y^{2} + C$

微分積分 例

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