微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$ , $y (0) = 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 3 x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = x^{3} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = x^{3} + K$ の $0$ を $x$ に、 $5$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$5 = 0^{3} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $0^{3} + K = 5$ として書き換えます。

$0^{3} + K = 5$

ステップ 4.2

$0^{3} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + K = 5$

ステップ 4.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 5$

ステップ 5

$5$ を $y = x^{3} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$5$ を $K$ に代入します。

$y = x^{3} + 5$

微分積分 例

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