微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y \cos^{2} (x)}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{y}{3}$ を掛けます。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} (\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

まとめる。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1}{y \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.2

まとめる。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

ステップ 1.3.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{y (3 \cdot 1)}{3 (y \cos^{2} (x))}$

ステップ 1.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 (\cos^{2} (x))}$

ステップ 1.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.6

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 1.3.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{y}{3} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{y}{3} d y = \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{3} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$\frac{1}{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int y d y = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ を $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{3 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.2.3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ の微分係数が $\sec^{2} (x)$ なので、 $\sec^{2} (x)$ の積分は $\tan (x)$ です。

$\frac{1}{6} y^{2} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{6} y^{2} = \tan (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 (\frac{1}{6} y^{2}) = 6 (\tan (x) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$6 (\frac{1}{6} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{6}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{y^{2}}{6} = 6 (\tan (x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 6 (\tan (x) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 6 \tan (x) + 6 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{6 \tan (x) + 6 K}$

ステップ 3.4

$6$ を $6 \tan (x) + 6 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$6$ を $6 \tan (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

ステップ 3.4.2

$6$ を $6 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x)) + 6 K}$

ステップ 3.4.3

$6$ を $6 (\tan (x)) + 6 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{6 (\tan (x) + K)}$

微分積分 例

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