微分積分例

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + 2 x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2} + 2 x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 1.3

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [2 x]$

ステップ 1.5

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

ステップ 1.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

$0$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

ステップ 1.6.2

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y]$

ステップ 2.2

$2 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 y = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 y = 0$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$0$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 y + 0}{N}$

ステップ 4.3

$2 y$ を $N$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 y$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 y + 0}{2 y}$

ステップ 4.3.2

$2 y + 0$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (y) + 0}{2 y}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{2 (y) + 2 \cdot 0}{2 y}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ を $2 (y) + 2 (0)$ で因数分解します。

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

ステップ 4.3.2.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$2$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{2 (y + 0)}{2 (y)}$

ステップ 4.3.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (y + 0)}{2 y}$

ステップ 4.3.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{y + 0}{y}$

ステップ 4.3.3

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y}{y}$

ステップ 4.3.4

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{y}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{x + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{x} + C$

ステップ 6

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) d x + 2 y d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{2} + y^{2} + 2 x$ に $e^{x}$ をかけます。

$(x^{2} + y^{2} + 2 x) e^{x} d x + 2 y d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y d y = 0$

ステップ 6.3

$2 y$ に $e^{x}$ をかけます。

$(x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}) d x + 2 y e^{x} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = 2 y e^{x}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2 e^{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $2 e^{x}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

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ステップ 8.3.1

$2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ を $2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = 2 e^{x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$\frac{2}{2}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$f (x, y) = \frac{2 e^{x}}{2} y^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} + g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 11.2

総和則では、 $e^{x} y^{2} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$y^{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $e^{x} y^{2}$ の微分係数は $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 11.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 11.5.2

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $y^{2} e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$

ステップ 12.1.2

$x^{2} e^{x} + y^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - y^{2} e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$y^{2} e^{x}$ から $y^{2} e^{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 0$

ステップ 12.1.2.2

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

ステップ 13

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.4

$u = x^{2}$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.7

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.8

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

ステップ 13.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

ステップ 13.10

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

ステップ 13.11

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

ステップ 13.12

簡約します。

$g (x) = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

ステップ 15

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C$

ステップ 15.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

ステップ 15.2

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$- 2 x e^{x}$ と $2 x e^{x}$ をたし算します。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C$

ステップ 15.2.2

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C$

ステップ 15.2.3

$2 e^{x}$ から $2 e^{x}$ を引きます。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + 0 + C$

ステップ 15.2.4

$e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$

ステップ 15.3

$f (x, y) = e^{x} y^{2} + x^{2} e^{x} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = y^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} + C$

微分積分 例

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