微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2} y$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 2} y)$

ステップ 1.3

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$y$ を $\frac{x}{x + 2} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 2})$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 2}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 2} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$x$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 2.3.1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x$

$0$

ステップ 2.3.1.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	+	$0$

ステップ 2.3.1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$2$

ステップ 2.3.1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 2$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$

ステップ 2.3.1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$2$
					-	$2$

ステップ 2.3.1.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{2}{x + 2} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

ステップ 2.3.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{2}{x + 2} d x$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{2}{x + 2} d x$

ステップ 2.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

ステップ 2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x$

ステップ 2.3.7

$u = x + 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.7.1

$u = x + 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.7.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.7.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.7.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| u |) + C_{4}$

ステップ 2.3.10

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = x - 2 \ln (| x + 2 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |) = x + C$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x + 2 |)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x + 2 |)$ を簡約します。

$\ln (| y |) + \ln ({| x + 2 |}^{2}) = x + C$

ステップ 3.2.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x + 2 |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| y |) + \ln ({(x + 2)}^{2}) = x + C$

ステップ 3.2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y | {(x + 2)}^{2})} = e^{x + C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| y | {(x + 2)}^{2}) = x + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{x + C} = | y | {(x + 2)}^{2}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ として書き換えます。

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$

ステップ 3.5.2

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ の各項を ${(x + 2)}^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$| y | {(x + 2)}^{2} = e^{x + C}$ の各項を ${(x + 2)}^{2}$ で割ります。

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

${(x + 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y | {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$| y |$ を $1$ で割ります。

$| y | = \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{x + C}$ を $e^{x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C \frac{C e^{x}}{{(x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

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