微分積分例

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 11$

ステップ 1

$P (t) = 4$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 4 d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{4 t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{4 t}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{4 t}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{4 t}$ を掛けます。

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 11$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 11$

ステップ 2.3

$11$ を $e^{4 t}$ の左に移動させます。

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 \cdot e^{4 t}$

ステップ 2.4

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 e^{4 t}$ の因数を並べ替えます。

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 11 e^{4 t}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 11 e^{4 t}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 11 e^{4 t} d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{4 t} y = \int 11 e^{4 t} d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$11$ は $t$ に対して定数なので、 $11$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 t} y = 11 \int e^{4 t} d t$

ステップ 6.2

$u = 4 t$ とします。次に $d u = 4 d t$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = 4 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$4 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [4 t]$

ステップ 6.2.1.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$4 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{4 t} y = 11 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

ステップ 6.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e^{4 t} y = 11 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

ステップ 6.4

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$e^{4 t} y = 11 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.5

$\frac{1}{4}$ と $11$ をまとめます。

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} \int e^{u} d u$

ステップ 6.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} (e^{u} + C)$

ステップ 6.7

簡約します。

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{u} + C$

ステップ 6.8

$u$ のすべての発生を $4 t$ で置き換えます。

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$

ステップ 7

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ の各項を $e^{4 t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ の各項を $e^{4 t}$ で割ります。

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{4 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{4 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

ステップ 7.3.1.2

$\frac{11}{4}$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$

微分積分 例

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