微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 x \ln (x)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 4 x \ln (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 4 x \ln (x) d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 4 x \ln (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 \int x \ln (x) d x$

ステップ 2.3.2

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.3.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.3.4

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

ステップ 2.3.3.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

ステップ 2.3.3.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.5.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 2.3.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 2.3.3.5.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

ステップ 2.3.5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}))$

ステップ 2.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$

ステップ 2.3.6.2

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}))$ を $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C_{2}$

ステップ 2.3.6.3

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = 4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + K$

微分積分 例

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