微分積分例

$\frac{d R}{d t} = \frac{60}{t^{2}}$ , $R (1) = 20$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d R = \frac{60}{t^{2}} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d R = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$R + C_{1} = \int \frac{60}{t^{2}} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$60$ は $t$ に対して定数なので、 $60$ を積分の外に移動させます。

$R + C_{1} = 60 \int \frac{1}{t^{2}} d t$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$t^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$R + C_{1} = 60 \int {(t^{2})}^{- 1} d t$

ステップ 2.3.2.2

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$R + C_{1} = 60 \int t^{2 \cdot - 1} d t$

ステップ 2.3.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$R + C_{1} = 60 \int t^{- 2} d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t^{- 2}$ の $t$ に関する積分は $- t^{- 1}$ です。

$R + C_{1} = 60 (- t^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$60 (- t^{- 1} + C_{2})$ を $60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$ に書き換えます。

$R + C_{1} = 60 (- \frac{1}{t}) + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$- 1$ に $60$ をかけます。

$R + C_{1} = - 60 \frac{1}{t} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$- 60$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$R + C_{1} = \frac{- 60}{t} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$R + C_{1} = - \frac{60}{t} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$R = - \frac{60}{t} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $R = - \frac{60}{t} + K$ の $1$ を $t$ に、 $20$ を $R$ に代入し $K$ の値を求めます。

$20 = - \frac{60}{1} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{60}{1} + K = 20$ として書き換えます。

$- \frac{60}{1} + K = 20$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$60$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 60 + K = 20$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $60$ をかけます。

$- 60 + K = 20$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $60$ を足します。

$K = 20 + 60$

ステップ 4.3.2

$20$ と $60$ をたし算します。

$K = 80$

ステップ 5

$80$ を $R = - \frac{60}{t} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$80$ を $K$ に代入します。

$R = - \frac{60}{t} + 80$

微分積分 例

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