微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 20 - 4 x - 5 y + x y$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

因数分解。

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ステップ 1.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = (20 - 4 x) - 5 y + x y$

ステップ 1.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 4 (5 - x) - y (5 - x)$

ステップ 1.1.2

最大公約数 $5 - x$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = (5 - x) (4 - y)$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{4 - y}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((5 - x) (4 - y))$

ステップ 1.3

$4 - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1

$4 - y$ を $(5 - x) (4 - y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

ステップ 1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 - y} ((4 - y) (5 - x))$

ステップ 1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 - y} \frac{d y}{d x} = 5 - x$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{4 - y} d y = (5 - x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{4 - y} d y = \int 5 - x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 4 - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 4 - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 5 - x d x$

ステップ 2.2.2

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 5 - x d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 - x d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

ステップ 2.2.6

$u$ のすべての発生を $4 - y$ で置き換えます。

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 - x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = \int 5 d x + \int - x d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int - x d x$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$- \ln (| 4 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- \ln (| 4 - y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x + C$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \ln (| 4 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\ln (| 4 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.2.2

$\ln (| 4 - y |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{- \frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.2

$\frac{1}{2} x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.4

$\frac{5 x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (5 x) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.5

$- 1 \cdot (5 x)$ を $- (5 x)$ に書き換えます。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - (5 x) + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.6

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x + \frac{C}{- 1}$

ステップ 3.1.3.1.7

$\frac{C}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - 1 \cdot C$

ステップ 3.1.3.1.8

$- 1 \cdot C$ を $- C$ に書き換えます。

$\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$

ステップ 3.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 4 - y |)} = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\ln (| 4 - y |) = \frac{x^{2}}{2} - 5 x - C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} = | 4 - y |$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ として書き換えます。

$| 4 - y | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

ステップ 3.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$4 - y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$

ステップ 3.4.4

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$- y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C} - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.4.4.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.4.3.1

$\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{- 1}{- 1}$ を掛けます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.2

$\frac{- 4}{- 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{- 1}{- 1}$ を掛けます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $1$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.4.3.3.1

$\frac{\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}}{- 1}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.4.4.3.3.3

$\frac{- 4}{- 1}$ に $\frac{- 1}{- 1}$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{- - 1}$

ステップ 3.4.4.3.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 4 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) \cdot - 1 - 4 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.4.3.5.1

$- 1$ を $\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}$ の左に移動させます。

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5.2

$- 1 (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ を $- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C})$ に書き換えます。

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) - 4 \cdot - 1}{1}$

ステップ 3.4.4.3.5.3

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4}{1}$

ステップ 3.4.4.3.6

$- (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$ を $1$ で割ります。

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x - C}) + 4$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}) + 4$

ステップ 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x + C}$ を $e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}$ に書き換えます。

$y = - (\pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x} e^{C}) + 4$

ステップ 4.3

$e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$

ステップ 4.4

定数を正または負でまとめます。

$y = - (C e^{\frac{x^{2}}{2} - 5 x}) + 4$

微分積分 例

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