微分積分例

$x (f {(x)}^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x^{1} x^{3}) \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

ステップ 1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f x^{1 + 3} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

ステップ 1.1.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

ステップ 1.1.2

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ の各項を $f x^{4}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$f x^{4} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$ の各項を $f x^{4}$ で割ります。

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$f$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{f x^{4} \frac{d y}{d x}}{f x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} \frac{d y}{d x}}{x^{4}} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{f x^{4}}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{f x^{4}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{f}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{f}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} \int \ln (x) x^{- 4} d x$

ステップ 2.3.3

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{- 4}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{3 x^{3}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 2.3.4.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{3 x^{3}}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x)$

ステップ 2.3.4.3

$x$ を $1$ 乗します。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x)$

ステップ 2.3.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x)$

ステップ 2.3.4.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

ステップ 2.3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

ステップ 2.3.6.2

$\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x)$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

ステップ 2.3.8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.8.1

$x^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x)$

ステップ 2.3.8.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x)$

ステップ 2.3.8.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x)$

ステップ 2.3.9

べき乗則では、 $x^{- 4}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{2}))$

ステップ 2.3.10

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.10.1

簡約します。

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ステップ 2.3.10.1.1

$x^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{2}))$

ステップ 2.3.10.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$

ステップ 2.3.10.2

$\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{2}))$ を $\frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{f} (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.11

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = (- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}}) \frac{1}{f} + K$

微分積分 例

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