微分積分例

$\frac{d q}{d t} + q = 4 \cos (2 t)$ , $q (0) = 1$

ステップ 1

$P (t) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{t}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{t}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{t}$ を掛けます。

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = e^{t} (4 \cos (2 t))$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$

ステップ 2.3

$e^{t} \frac{d q}{d t} + e^{t} q = 4 e^{t} \cos (2 t)$ の因数を並べ替えます。

$e^{t} \frac{d q}{d t} + q e^{t} = 4 e^{t} \cos (2 t)$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{t} q] = 4 e^{t} \cos (2 t)$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} q] d t = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{t} q = \int 4 e^{t} \cos (2 t) d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$e^{t} q = 4 \int e^{t} \cos (2 t) d t$

ステップ 6.2

$e^{t}$ と $\cos (2 t)$ を並べ替えます。

$e^{t} q = 4 \int \cos (2 t) e^{t} d t$

ステップ 6.3

$u = \cos (2 t)$ と $d v = e^{t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - \int e^{t} (- 2 \sin (2 t)) d t)$

ステップ 6.4

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} - (- 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t))$

ステップ 6.5

式を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int e^{t} (\sin (2 t)) d t)$

ステップ 6.5.2

$e^{t}$ と $\sin (2 t)$ を並べ替えます。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 \int \sin (2 t) e^{t} d t)$

ステップ 6.6

$u = \sin (2 t)$ と $d v = e^{t}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - \int e^{t} (2 \cos (2 t)) d t))$

ステップ 6.7

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - (2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)))$

ステップ 6.8

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 6.8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t} - 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

ステップ 6.8.2

分配則を当てはめます。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) + 2 (- 2 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t))$

ステップ 6.8.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$e^{t} q = 4 (\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t}) - 4 \int e^{t} (\cos (2 t)) d t)$

ステップ 6.9

$\int e^{t} \cos (2 t) d t$ を解くと、 $\int e^{t} \cos (2 t) d t$ = $\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5}$ であることが分かります。

$e^{t} q = 4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 (\sin (2 t) e^{t})}{5} + C)$

ステップ 6.10

答えを簡約します。

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ステップ 6.10.1

$4 (\frac{\cos (2 t) e^{t} + 2 \sin (2 t) e^{t}}{5} + C)$ を $4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$ に書き換えます。

$e^{t} q = 4 \frac{e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))}{5} + C$

ステップ 6.10.2

簡約します。

$e^{t} q = \frac{4}{5} e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + C$

ステップ 7

$e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ の各項を $e^{t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{t} q = \frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))) + C$ の各項を $e^{t}$ で割ります。

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{t} q}{e^{t}} = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.2.1.2

$q$ を $1$ で割ります。

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$q = \frac{\frac{4}{5} \cdot (e^{t} (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)))}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.3.1.1.2

$\frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t))$ を $1$ で割ります。

$q = \frac{4}{5} \cdot (\cos (2 t) + 2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.3.1.2

分配則を当てはめます。

$q = \frac{4}{5} \cos (2 t) + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.3.1.3

$\frac{4}{5}$ と $\cos (2 t)$ をまとめます。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{4}{5} (2 \sin (2 t)) + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.3.1.4

$\frac{4}{5} (2 \sin (2 t))$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.4.1

$2$ と $\frac{4}{5}$ をまとめます。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{2 \cdot 4}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.3.1.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8}{5} \sin (2 t) + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 7.3.1.4.3

$\frac{8}{5}$ と $\sin (2 t)$ をまとめます。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$

ステップ 8

初期条件を利用し、 $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ の $0$ を $t$ に、 $1$ を $q$ に代入し $C$ の値を求めます。

$1 = \frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$

ステップ 9

$C$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$ として書き換えます。

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0)}{5} + \frac{8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cos (2 \cdot 0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 \cos (0) + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{4 \cdot 1 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 + 8 \sin (2 \cdot 0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.2.4

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 + 8 \sin (0)}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.2.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{4 + 8 \cdot 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.2.6

$8$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 + 0}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4}{5} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

ステップ 9.2.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1.4.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{4}{5} + \frac{C}{1} = 1$

ステップ 9.2.1.4.2

$C$ を $1$ で割ります。

$\frac{4}{5} + C = 1$

ステップ 9.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.3.1

方程式の両辺から $\frac{4}{5}$ を引きます。

$C = 1 - \frac{4}{5}$

ステップ 9.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$C = \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 9.3.3

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{5 - 4}{5}$

ステップ 9.3.4

$5$ から $4$ を引きます。

$C = \frac{1}{5}$

ステップ 10

$\frac{1}{5}$ を $q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{C}{e^{t}}$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{5}$ を $C$ に代入します。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{e^{t}}$

ステップ 10.2

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{e^{t}}$

ステップ 10.2.2

まとめる。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 e^{t}}$

ステップ 10.2.3

$1$ に $1$ をかけます。

$q = \frac{4 \cos (2 t)}{5} + \frac{8 \sin (2 t)}{5} + \frac{1}{5 e^{t}}$

微分積分 例

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