微分積分例

$y \frac{d y}{d x} - (1 + y) x^{2} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 \cdot 1 - y) x^{2} = 0$

ステップ 1.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y \frac{d y}{d x} + (- 1 - y) x^{2} = 0$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$y \frac{d y}{d x} - 1 x^{2} - y x^{2} = 0$

ステップ 1.1.1.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} - x^{2} - y x^{2} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$y \frac{d y}{d x} - y x^{2} = x^{2}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $y x^{2}$ を足します。

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$

ステップ 1.1.3

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} + y x^{2}$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y x^{2}}{y}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y} + x^{2}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$x^{2}$ を $\frac{x^{2}}{y} + x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$x^{2}$ を $\frac{x^{2}}{y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2}$

ステップ 1.2.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$

ステップ 1.2.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} \frac{1}{y} + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + 1)$

ステップ 1.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{1}{y} + \frac{y}{y})$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \frac{1 + y}{y}$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{y}{1 + y}$ を掛けます。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} (x^{2} \frac{1 + y}{y})$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$x^{2}$ と $\frac{1 + y}{y}$ をまとめます。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

ステップ 1.4.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y} \cdot \frac{x^{2} (1 + y)}{y}$

ステップ 1.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x^{2} (1 + y))$

ステップ 1.4.3

$1 + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.3.1

$1 + y$ を $x^{2} (1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

ステップ 1.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x^{2})$

ステップ 1.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{y}{1 + y} d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{y}{1 + y} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$1$ と $y$ を並べ替えます。

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

$y$ を $y + 1$ で割ります。

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ステップ 2.2.2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$y$

$1$

$y$

$0$

ステップ 2.2.2.2

被除数 $y$ の最高次項を除数 $y$ の最高次項で割ります。

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

ステップ 2.2.2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

ステップ 2.2.2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $y + 1$ の符号をすべて変更します。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

ステップ 2.2.2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

ステップ 2.2.2.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.4

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.6

$u = y + 1$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.6.1

$u = y + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.6.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.6.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.6.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.8

簡約します。

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.9

$u$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y - \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

微分積分 例

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