微分積分例

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 0$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺に $2 x y$ を足します。

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = 2 x y$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$

ステップ 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ の各項を $1 + x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 2 x y$ の各項を $1 + x^{2}$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$1 + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{y}$ を掛けます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

ステップ 1.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$y$ を $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 1 + x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 1 + x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$1 + x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 x$

ステップ 2.3.2.1.5

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 2.3.3.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

ステップ 3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| 1 + x^{2} |$ を掛けます。

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$| 1 + x^{2} |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{C} | 1 + x^{2} |$ の因数を並べ替えます。

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | 1 + x^{2} |$

微分積分 例

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