微分積分例

$\frac{d y}{d x} - y x = x$ , $y (0) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $y x$ を足します。

$\frac{d y}{d x} = x + y x$

ステップ 1.2

$x$ を $x + y x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + y x$

ステップ 1.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + y x$

ステップ 1.2.3

$x$ を $y x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x y$

ステップ 1.2.4

$x$ を $x \cdot 1 + x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = x (1 + y)$

ステップ 1.3

両辺に $\frac{1}{1 + y}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (x (1 + y))$

ステップ 1.4

$1 + y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$1 + y$ を $x (1 + y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) x)$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = x$

ステップ 1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + y} d y = x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 1 + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 1 + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$1 + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $1 + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + y$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int x d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 1 + y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | 1 + y |$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ として書き換えます。

$| 1 + y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$| 1 + y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

ステップ 3.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$1 + y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ を $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

ステップ 4.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ の $0$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$0 = C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$ として書き換えます。

$C e^{\frac{0^{2}}{2}} - 1 = 0$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$C e^{\frac{0}{2}} - 1 = 0$

ステップ 6.2.2

$0$ を $2$ で割ります。

$C e^{0} - 1 = 0$

ステップ 6.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$C \cdot 1 - 1 = 0$

ステップ 6.2.4

$C$ に $1$ をかけます。

$C - 1 = 0$

ステップ 6.3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$C = 1$

ステップ 7

$1$ を $y = C e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ を $C$ に代入します。

$y = 1 e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

ステップ 7.2

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$ に $1$ をかけます。

$y = e^{\frac{x^{2}}{2}} - 1$

微分積分 例

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