微分積分例

$- (y d) x + x d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $y d x$ を足します。

$x d y = y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} y d x$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y |}{| x |}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{| x |} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 5.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 5.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{C} | x |$

ステップ 5.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.4.1

$e^{C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| y | = | x | e^{C}$

ステップ 5.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm | x | e^{C}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

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ステップ 6.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm | x | C$

ステップ 6.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | x |$

微分積分 例

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