微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \cos (x) \csc (y)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\csc (y)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\cos (x) \csc (y))$

ステップ 1.2

$\csc (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$\csc (y)$ を $\cos (x) \csc (y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) \cos (x))$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\csc (y)} d y = \cos (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (y)$ を書き換えます。

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (y)}$ で割ります。

$\int 1 \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.1.3

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$\int \sin (y) d y = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.2.2

$\sin (y)$ の $y$ に関する積分は $- \cos (y)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\sin (x) + K = - \cos (y)$ として書き換えます。

$\sin (x) + K = - \cos (y)$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\sin (x) = - \cos (y) - K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $y$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \cos (y) - K)$

ステップ 3.4

方程式を $\arcsin (- \cos (y) - K) = x$ として書き換えます。

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

ステップ 3.5

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $\cos (y)$ を取り出します。

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

ステップ 3.6

方程式の両辺に $K$ を足します。

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

ステップ 3.7

$- \cos (y) = \sin (x) + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- \cos (y) = \sin (x) + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.7.2.2

$\cos (y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1.1

$\frac{\sin (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.7.3.1.2

$- 1 \cdot \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.7.3.1.3

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

ステップ 3.7.3.1.4

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

ステップ 3.8

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

ステップ 3.9

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\arcsin (- \cos (y) - K) = x$

ステップ 3.10

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $\cos (y)$ を取り出します。

$- \cos (y) - K = \sin (x)$

ステップ 3.11

方程式の両辺に $K$ を足します。

$- \cos (y) = \sin (x) + K$

ステップ 3.12

$- \cos (y) = \sin (x) + K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.12.1

$- \cos (y) = \sin (x) + K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.12.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.12.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.12.2.2

$\cos (y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (y) = \frac{\sin (x)}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.12.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.12.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.12.3.1.1

$\frac{\sin (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = - 1 \cdot \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.12.3.1.2

$- 1 \cdot \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$\cos (y) = - \sin (x) + \frac{K}{- 1}$

ステップ 3.12.3.1.3

$\frac{K}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (y) = - \sin (x) - 1 \cdot K$

ステップ 3.12.3.1.4

$- 1 \cdot K$ を $- K$ に書き換えます。

$\cos (y) = - \sin (x) - K$

ステップ 3.13

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (- \sin (x) - K)$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \arccos (- \sin (x) + K)$

微分積分 例

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