微分積分例

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 7 x$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$y d y = (x^{2} - 7 x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int x^{2} - 7 x d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 7 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 7 x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 7 x d x$

ステップ 2.3.3

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $- 7$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 \int x d x$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$- 7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 7}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.3.5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$x^{2}$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 7}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$7$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ と $\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 (- \frac{7 x^{2}}{2}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.2.1

$- \frac{7 x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 \frac{- 7 x^{2}}{2} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} + 2 K}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 7 x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} - 7 x^{2} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$- 7 x^{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{- 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$x^{2}$ を $2 x^{3} - 7 x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

$x^{2}$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) - 7 x^{2} \cdot 3}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.3.1.2

$x^{2}$ を $- 7 x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.3.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x) + x^{2} (- 7 \cdot 3)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 7 \cdot 3)}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.3.2

$- 7$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K}$

ステップ 3.4.4

$2 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.4.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.5.1

$2 K$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x - 21) + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

分配則を当てはめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 21 + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6.3

$- 21$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} x - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.4.1

$x$ を移動させます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{1 + 2} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.4.6.5

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$

ステップ 3.4.7

$\sqrt{\frac{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.8

$\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.1

$\frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.9.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.9.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 3.4.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.4.9.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.9.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 3.4.9.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 3.4.10

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

ステップ 3.4.11

$\pm \frac{\sqrt{(2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + 6 K)}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} - 21 x^{2} + K)}}{3}$

微分積分 例

微分積分例