微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 9 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $e^{y}$ を掛けます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} (9 \cdot \frac{1}{e^{y}} \cdot \cos (x))$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 e^{y} (\frac{1}{e^{y}} \cos (x))$

ステップ 1.2.2

$\frac{1}{e^{y}}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 e^{y} \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

ステップ 1.2.3

$e^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

$e^{y}$ を $9 e^{y}$ で因数分解します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 9 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

ステップ 1.2.3.2

共通因数を約分します。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 9 \frac{\cos (x)}{e^{y}}$

ステップ 1.2.3.3

式を書き換えます。

$e^{y} \frac{d y}{d x} = 9 \cos (x)$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$e^{y} d y = 9 \cos (x) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{y} d y = \int 9 \cos (x) d x$

ステップ 2.2

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$e^{y} + C_{1} = \int 9 \cos (x) d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$e^{y} + C_{1} = 9 \int \cos (x) d x$

ステップ 2.3.2

$\cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\sin (x)$ です。

$e^{y} + C_{1} = 9 (\sin (x) + C_{2})$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$e^{y} + C_{1} = 9 \sin (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y} = 9 \sin (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y}) = \ln (9 \sin (x) + K)$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.1

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y})$ を展開します。

$y \ln (e) = \ln (9 \sin (x) + K)$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$y \cdot 1 = \ln (9 \sin (x) + K)$

ステップ 3.2.3

$y$ に $1$ をかけます。

$y = \ln (9 \sin (x) + K)$

微分積分 例

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