微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

ステップ 1

問題を数式で書きます。

$\frac{d y}{d t} = \frac{3 t^{2}}{y}$ , $y (2) = 0$

ステップ 2

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

ステップ 2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{3 t^{2}}{y}$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d t} = 3 t^{2}$

ステップ 2.3

方程式を書き換えます。

$y d y = 3 t^{2} d t$

ステップ 3

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int 3 t^{2} d t$

ステップ 3.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

ステップ 3.3.2

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

ステップ 3.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ を $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.3.3.2.3

$t^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = t^{3} + K$

ステップ 4

$y$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (t^{3} + K)$

ステップ 4.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (t^{3} + K)$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (t^{3} + K)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 t^{3} + 2 K$

ステップ 4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{2 t^{3} + 2 K}$

ステップ 4.4

$2$ を $2 t^{3} + 2 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2$ を $2 t^{3}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

ステップ 4.4.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3}) + 2 K}$

ステップ 4.4.3

$2$ を $2 (t^{3}) + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

ステップ 4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

ステップ 4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (t^{3} + K)}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(2, 0)$ で負ではないので、 $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $2$ を $t$ に、 $0$ を $y$ に代入します。

$0 = \sqrt{2 (2^{3} + K)}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$ として書き換えます。

$\sqrt{2 (2^{3} + K)} = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 (2^{3} + K)}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (2^{3} + K)}$ を ${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

${({(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 (2^{3} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 (2^{3} + K))}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

${(2 (8 + K))}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

分配則を当てはめます。

${(2 \cdot 8 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.3.1

$2$ に $8$ をかけます。

${(16 + 2 K)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.1.3.2

簡約します。

$16 + 2 K = 0^{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$16 + 2 K = 0$

ステップ 6.4

$K$ について解きます。

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ステップ 6.4.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$2 K = - 16$

ステップ 6.4.2

$2 K = - 16$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$2 K = - 16$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

ステップ 6.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 K}{2} = \frac{- 16}{2}$

ステップ 6.4.2.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{- 16}{2}$

ステップ 6.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.3.1

$- 16$ を $2$ で割ります。

$K = - 8$

ステップ 7

$- 8$ を $y = \sqrt{2 (t^{3} + K)}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 8$ を $K$ に代入します。

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 8)}$

ステップ 7.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{2 (t^{3} - 2^{3})}$

ステップ 7.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = t$ であり、 $b = 2$ です。

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + t \cdot 2 + 2^{2}))}$

ステップ 7.4

簡約します。

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ステップ 7.4.1

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 \cdot t + 2^{2}))}$

ステップ 7.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \sqrt{2 ((t - 2) (t^{2} + 2 t + 4))}$

$y = \sqrt{2 (t - 2) (t^{2} + 2 t + 4)}$

微分積分 例

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