微分積分例

$x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

ステップ 1.2

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $x y$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

ステップ 1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

ステップ 2

$N (x, y) = - (x^{2} + y^{2})$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + y^{2})]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x^{2} + y^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.5

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

ステップ 2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$x = - 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$x = - 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{- 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{- 2 x - x}{M}$

ステップ 4.3

$x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x y$ を $M$ に代入します。

$\frac{- 2 x - x}{x y}$

ステップ 4.3.2

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{- 3 x}{x y}$

ステップ 4.3.3

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{x y}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- 3}{y}$

ステップ 4.3.4

$x y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{3}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

ステップ 5.2

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

対数の中の $- 3$ を移動させて $- 3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

ステップ 5.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

ステップ 6

$x y d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x y$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$x y \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$y x \frac{1}{y^{3}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.2

$y$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.3

共通因数を約分します。

$y x \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2.4

式を書き換えます。

$x \frac{1}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

$x$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4

$- (x^{2} + y^{2})$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{x}{y^{2}} d x - (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.5

分配則を当てはめます。

$\frac{x}{y^{2}} d x + (- x^{2} - y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.6

$- x^{2} - y^{2}$ に $\frac{1}{y^{3}}$ をかけます。

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- x^{2} - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.7

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.8

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2}) - (y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.9

$- 1$ を $- (x^{2}) - (y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.10

$- (x^{2} + y^{2})$ を $- 1 (x^{2} + y^{2})$ に書き換えます。

$\frac{x}{y^{2}} d x + \frac{- 1 (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 6.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x}{y^{2}} d x - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{y^{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{y^{2}}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

ステップ 8.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 8.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{y^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{1}{y^{2} \cdot 2} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.2

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{2 \cdot y^{2}} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.3

$2$ に $y^{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

ステップ 8.3.2.4

$\frac{1}{2 y^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$\frac{x^{2}}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ の微分係数は $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ です。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ を ${(y^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3

$f (y) = y^{- 1}$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$\frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.3.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.5

${(y^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.7

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.10

$- 2$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.11

$\frac{- 2 x^{2}}{2}$ と $y^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $y^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.13

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.13.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.13.2.1

$2$ を $2 y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 (y^{3})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x^{2})}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.1

方程式の両辺に $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ を足します。

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{2} + x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.3

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{2}}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.4

$0$ と $y^{2}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2}}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5

$y^{2}$ と $y^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{3}} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1.5.2.1

$y^{2}$ を $y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot 1}{y^{2} y} = 0$

ステップ 12.1.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y} = 0$

ステップ 12.1.2

方程式の両辺から $\frac{1}{y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

ステップ 13

$- \frac{1}{y}$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

ステップ 13.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 13.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

ステップ 13.5

簡約します。

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - \ln (| y |) + C$

微分積分 例

微分積分例