微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 \sqrt{x}}$ , $y (16) = 0$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{9 \sqrt{x}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2.3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 2.3.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$\frac{1}{9} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ を $\frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{9} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

$\frac{1}{9}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ の $16$ を $x$ に、 $0$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$0 = \frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$ として書き換えます。

$\frac{2}{9} \cdot 16^{\frac{1}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{9} \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

ステップ 4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

ステップ 4.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{9} \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

ステップ 4.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{9} \cdot 4^{1} + K = 0$

ステップ 4.2.4

指数を求めます。

$\frac{2}{9} \cdot 4 + K = 0$

ステップ 4.2.5

$\frac{2}{9} \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 4.2.5.1

$\frac{2}{9}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 4}{9} + K = 0$

ステップ 4.2.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8}{9} + K = 0$

ステップ 4.3

方程式の両辺から $\frac{8}{9}$ を引きます。

$K = - \frac{8}{9}$

ステップ 5

$- \frac{8}{9}$ を $y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{8}{9}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{2}{9} x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{9}$

ステップ 5.2

$\frac{2}{9}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{9} - \frac{8}{9}$

微分積分 例

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