微分積分例

$(y + 4) d x + x d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $(y + 4) d x$ を引きます。

$x d y = - (y + 4) d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x (y + 4)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x (y + 4)} x d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

ステップ 3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{1}{x (y + 4)} (- (y + 4)) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

ステップ 3.3

$y + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{x (y + 4)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x (y + 4)} (y + 4) d x$

ステップ 3.3.2

$y + 4$ を $x (y + 4)$ で因数分解します。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

ステップ 3.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{(y + 4) x} (y + 4) d x$

ステップ 3.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 4} d y = \frac{- 1}{x} d x$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y + 4} d y = - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 4} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$u = y + 4$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.2.1.1

$u = y + 4$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 4.2.1.1.1

$y + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

ステップ 4.2.1.1.2

総和則では、 $y + 4$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

ステップ 4.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

ステップ 4.2.1.1.4

$4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $y + 4$ で置き換えます。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$\ln (| y + 4 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 4 |) = - \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 4 |) + \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| y + 4 | | x |) = C$

ステップ 5.3

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (y + 4) x |) = C$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\ln (| y x + 4 x |) = C$

ステップ 5.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y x + 4 x |)} = e^{C}$

ステップ 5.6

対数の定義を利用して $\ln (| y x + 4 x |) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = | y x + 4 x |$

ステップ 5.7

$y$ について解きます。

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ステップ 5.7.1

方程式を $| y x + 4 x | = e^{C}$ として書き換えます。

$| y x + 4 x | = e^{C}$

ステップ 5.7.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y x + 4 x = \pm e^{C}$

ステップ 5.7.3

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$y x = \pm e^{C} - 4 x$

ステップ 5.7.4

$y x = \pm e^{C} - 4 x$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.4.1

$y x = \pm e^{C} - 4 x$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 5.7.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 5.7.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 5.7.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.4.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.4.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- 4 x}{x}$

ステップ 5.7.4.3.1.2

$- 4$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{C}}{x} - 4$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \frac{C}{x} - 4$

微分積分 例

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