微分積分例

$\frac{d P}{d t} = \frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

ステップ 1.2

$\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} (\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2})$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} \frac{d P}{d t} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = 1 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$P$ を $\frac{1}{10} P - \frac{1}{5000} P^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1.1

$P$ を $\frac{1}{10} P$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P^{2}} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.1.1.2

$P$ を $- \frac{1}{5000} P^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.1.1.3

$P$ を $P \frac{1}{10} + P (- \frac{1}{5000} P)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{1}{5000} P)} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.1.2

$P$ と $\frac{1}{5000}$ をまとめます。

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{1}{10}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{500}{500}$ を掛けます。

$\int \frac{1}{P (\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.1.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $5000$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

$\frac{1}{10}$ に $\frac{500}{500}$ をかけます。

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{10 \cdot 500} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$10$ に $500$ をかけます。

$\int \frac{1}{P (\frac{500}{5000} - \frac{P}{5000})} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{1}{P \frac{500 - P}{5000}} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.2

$P$ と $\frac{500 - P}{5000}$ をまとめます。

$\int \frac{1}{\frac{P (500 - P)}{5000}} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int 1 \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{5000}{P (500 - P)}$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{5000}{P (500 - P)} d P = \int d t$

ステップ 2.2.2

$5000$ は $P$ に対して定数なので、 $5000$ を積分の外に移動させます。

$5000 \int \frac{1}{P (500 - P)} d P = \int d t$

ステップ 2.2.3

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $P (500 - P)$ です。

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.3

$P$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (P (500 - P))}{P (500 - P)} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.4

$500 - P$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (500 - P)}{500 - P} = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.5.1

$P$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (P (500 - P))}{P} + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.5.1.2

$A (500 - P)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (500 - P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 = A \cdot 500 + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.5.3

$500$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = 500 \cdot A + A (- P) + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 500 \cdot A - A P + \frac{(B) (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.5.5

$500 - P$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.5.5.1

共通因数を約分します。

$1 = 500 A - A P + \frac{B (P (500 - P))}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.1.5.5.2

$(B) (P)$ を $1$ で割ります。

$1 = 500 A - A P + (B) (P)$

$1 = 500 A - A P + B P$

ステップ 2.2.3.1.6

$500 A$ を移動させます。

$1 = - A P + B P + 500 A$

ステップ 2.2.3.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

式の両辺から $P$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.3.2.2

式の両辺から $P$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 500 A$

ステップ 2.2.3.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 500 A$

ステップ 2.2.3.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$1 = 500 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.1

方程式を $500 A = 1$ として書き換えます。

$500 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.3.3.1.2

$500 A = 1$ の各項を $500$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.2.1

$500 A = 1$ の各項を $500$ で割ります。

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.3.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.2.2.1

$500$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{500 A}{500} = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.3.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.3.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{500}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1

$0 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{500}$ で置き換えます。

$0 = - 1 (\frac{1}{500}) + B$

$A = \frac{1}{500}$

ステップ 2.2.3.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.2.1

$- 1 (\frac{1}{500})$ を $- (\frac{1}{500})$ に書き換えます。

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

$0 = - \frac{1}{500} + B$

$A = \frac{1}{500}$

ステップ 2.2.3.3.3

$0 = - \frac{1}{500} + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.3.1

方程式を $- \frac{1}{500} + B = 0$ として書き換えます。

$- \frac{1}{500} + B = 0$

$A = \frac{1}{500}$

ステップ 2.2.3.3.3.2

方程式の両辺に $\frac{1}{500}$ を足します。

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

$B = \frac{1}{500}$

$A = \frac{1}{500}$

ステップ 2.2.3.3.4

連立方程式を解きます。

$B = \frac{1}{500} A = \frac{1}{500}$

ステップ 2.2.3.3.5

すべての解をまとめます。

$B = \frac{1}{500}, A = \frac{1}{500}$

ステップ 2.2.3.4

$\frac{A}{P} + \frac{B}{500 - P}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{500}}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{500} \cdot \frac{1}{P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.5.2

$\frac{1}{500}$ に $\frac{1}{P}$ をかけます。

$\frac{1}{500 P} + \frac{\frac{1}{500}}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{500 P} + \frac{1}{500} \cdot \frac{1}{500 - P}$

ステップ 2.2.3.5.4

$\frac{1}{500}$ に $\frac{1}{500 - P}$ をかけます。

$5000 \int \frac{1}{500 P} + \frac{1}{500 (500 - P)} d P = \int d t$

ステップ 2.2.4

単一積分を複数積分に分割します。

$5000 (\int \frac{1}{500 P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{500}$ は $P$ に対して定数なので、 $\frac{1}{500}$ を積分の外に移動させます。

$5000 (\frac{1}{500} \int \frac{1}{P} d P + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{P}$ の $P$ に関する積分は $\ln (| P |)$ です。

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \int \frac{1}{500 (500 - P)} d P) = \int d t$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{500}$ は $P$ に対して定数なので、 $\frac{1}{500}$ を積分の外に移動させます。

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{1}{500 - P} d P) = \int d t$

ステップ 2.2.8

$u = 500 - P$ とします。次に $d u = - d P$ すると、 $- d u = d P$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$u = 500 - P$ とします。 $\frac{d u}{d P}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 2.2.8.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 2.2.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int \frac{- 1}{u} d u) = \int d t$

ステップ 2.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} \int - \frac{1}{u} d u) = \int d t$

ステップ 2.2.10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

ステップ 2.2.11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$5000 (\frac{1}{500} (\ln (| P |) + C_{1}) + \frac{1}{500} (- (\ln (| u |) + C_{2}))) = \int d t$

ステップ 2.2.12

簡約します。

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| u |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.13

$u$ のすべての発生を $500 - P$ で置き換えます。

$5000 (\frac{\ln (| P |)}{500} - \frac{\ln (| 500 - P |)}{500}) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.14.1

公分母の分子をまとめます。

$5000 \frac{\ln (| P |) - \ln (| 500 - P |)}{500} + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.14.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$5000 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.14.3

$500$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.14.3.1

$500$ を $5000$ で因数分解します。

$500 (10) \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.14.3.2

共通因数を約分します。

$500 \cdot 10 \frac{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{500} + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.2.14.3.3

式を書き換えます。

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = \int d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) + C_{3} = t + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$

ステップ 3

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = t + C$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 \ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})}{10} = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})$ を $1$ で割ります。

$\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$

ステップ 3.2

$P$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |})} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| P |}{| 500 - P |}) = \frac{t}{10} + \frac{C}{10}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} = \frac{| P |}{| 500 - P |}$

ステップ 3.4

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ として書き換えます。

$\frac{| P |}{| 500 - P |} = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$

ステップ 3.4.2

両辺に $| 500 - P |$ を掛けます。

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

ステップ 3.4.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$| 500 - P |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| P |}{| 500 - P |} | 500 - P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

ステップ 3.4.3.1.2

式を書き換えます。

$| P | = e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |$

ステップ 3.4.4

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

方程式を $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ として書き換えます。

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$

ステップ 3.4.4.2

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ の各項を $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P | = | P |$ の各項を $e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

ステップ 3.4.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.2.1

$e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}} | 500 - P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}} = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

ステップ 3.4.4.2.2.1.2

$| 500 - P |$ を $1$ で割ります。

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t}{10} + \frac{C}{10}}}$

ステップ 3.4.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$| 500 - P | = \frac{| P |}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

ステップ 3.4.4.3

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$- (500 - P) = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

ステップ 3.4.4.4

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

$500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$

ステップ 3.4.4.5

$P$ について $500 - P = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.1

両辺に $e^{\frac{t + C}{10}}$ を掛けます。

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.2.1.1

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.2.1.1.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.2.1.1.2.1

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.2.1.1.2.2

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.2.1.1.2.3

$500 e^{\frac{C + t}{10}}$ と $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ を並べ替えます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.2.2.1

$e^{\frac{t + C}{10}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = P$

ステップ 3.4.4.5.3

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.1

方程式の両辺から $P$ を引きます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} - P = 0$

ステップ 3.4.4.5.3.2

$P$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.2.1

方程式の両辺から $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ を引きます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.3.2.2

分数 $\frac{C + t}{10}$ を2つの分数に分割します。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.3.3

$P$ を $- P e^{\frac{C + t}{10}} - P$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.3.1

$P$ を $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ で因数分解します。

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) - P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.3.3.2

$P$ を $- P$ で因数分解します。

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.3.3.3

$P$ を $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot - 1$ で因数分解します。

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.3.4

$- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ を $- e^{\frac{C + t}{10}}$ に書き換えます。

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.5.3.5

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ の各項を $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.5.1

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ の各項を $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ で割ります。

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.5.2.1

$- e^{\frac{C + t}{10}} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.2.1.2

$P$ を $1$ で割ります。

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.3

$- 1$ を $- e^{\frac{C + t}{10}}$ で因数分解します。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.5

$- 1$ を $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (1)$ で因数分解します。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.6.1

$- (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ を $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)$ に書き換えます。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.6.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.5.3.5.3.6.4

$\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$ に $1$ をかけます。

$P = \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.6

$P$ について $500 - P = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.1

両辺に $e^{\frac{t + C}{10}}$ を掛けます。

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.2.1.1

$(500 - P) e^{\frac{t + C}{10}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$500 e^{\frac{t + C}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.2.1.1.2

交換して簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.2.1.1.2.1

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{t + C}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.2.1.1.2.2

$t$ と $C$ を並べ替えます。

$500 e^{\frac{C + t}{10}} - P e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.2.1.1.2.3

$500 e^{\frac{C + t}{10}}$ と $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ を並べ替えます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.2.2.1

$e^{\frac{t + C}{10}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.2.2.1.1

$- \frac{P}{e^{\frac{t + C}{10}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = \frac{- P}{e^{\frac{t + C}{10}}} e^{\frac{t + C}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} = - P$

ステップ 3.4.4.6.3

$P$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.1

方程式の両辺に $P$ を足します。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + 500 e^{\frac{C + t}{10}} + P = 0$

ステップ 3.4.4.6.3.2

$P$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.2.1

方程式の両辺から $500 e^{\frac{C + t}{10}}$ を引きます。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C + t}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.3.2.2

分数 $\frac{C + t}{10}$ を2つの分数に分割します。

$- P e^{\frac{C + t}{10}} + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.3.3

$P$ を $- P e^{\frac{C + t}{10}} + P$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.3.1

$P$ を $- P e^{\frac{C + t}{10}}$ で因数分解します。

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.3.3.2

$P$ を $1$ 乗します。

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.3.3.3

$P$ を $P^{1}$ で因数分解します。

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1 = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.3.3.4

$P$ を $P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}}) + P \cdot 1$ で因数分解します。

$P (- 1 e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.3.4

$- 1 e^{\frac{C + t}{10}}$ を $- e^{\frac{C + t}{10}}$ に書き換えます。

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$

ステップ 3.4.4.6.3.5

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ の各項を $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.5.1

$P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1) = - 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}$ の各項を $- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ で割ります。

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.5.2.1

$- e^{\frac{C + t}{10}} + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{P (- e^{\frac{C + t}{10}} + 1)}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1} = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.2.1.2

$P$ を $1$ で割ります。

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C}{10} + \frac{t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.1

公分母の分子をまとめます。

$P = \frac{- 500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.3

$- 1$ を $- e^{\frac{C + t}{10}}$ で因数分解します。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} + 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.4

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.5

$- 1$ を $- e^{\frac{C + t}{10}} - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.6.1

$- (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ を $- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)$ に書き換えます。

$P = - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{- 1 (e^{\frac{C + t}{10}} - 1)}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$P = - - \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.6.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$P = 1 \frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$

ステップ 3.4.4.6.3.5.3.6.4

$\frac{500 e^{\frac{C + t}{10}}}{e^{\frac{C + t}{10}} - 1}$ に $1$ をかけます。