微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 7 x^{2}$

ステップ 1

$P (x) = 5$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 5 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{5 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{5 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{5 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $e^{5 x}$ を掛けます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} (7 x^{2})$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} (7 x^{2})$

ステップ 2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$

ステップ 2.4

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 7 e^{5 x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 7 x^{2} e^{5 x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 7 x^{2} e^{5 x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{5 x} y = \int 7 x^{2} e^{5 x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 x} y = 7 \int x^{2} e^{5 x} d x$

ステップ 6.2

$u = x^{2}$ と $d v = e^{5 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

ステップ 6.3.2

$x^{2}$ と $\frac{e^{5 x}}{5}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x)$

ステップ 6.3.3

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x)$

ステップ 6.3.4

$2$ と $\frac{e^{5 x}}{5}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x)$

ステップ 6.3.5

$\frac{2 e^{5 x}}{5}$ と $x$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x)$

ステップ 6.4

$\frac{2}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x))$

ステップ 6.5

$u = x$ と $d v = e^{5 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

ステップ 6.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

ステップ 6.6.2

$x$ と $\frac{e^{5 x}}{5}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x))$

ステップ 6.6.3

$\frac{1}{5}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x))$

ステップ 6.7

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)))$

ステップ 6.8

$u = 5 x$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$u = 5 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 6.8.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 6.8.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 6.8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u))$

ステップ 6.9

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u))$

ステップ 6.10

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)))$

ステップ 6.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u))$

ステップ 6.11.2

$5$ に $5$ をかけます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u))$

ステップ 6.12

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$

ステップ 6.13

$7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)))$ を $7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$ に書き換えます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{u}}{125}) + C$

ステップ 6.14

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2 x e^{5 x}}{25} + \frac{2 e^{5 x}}{125}) + C$

ステップ 6.15

項を並べ替えます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} x^{2} e^{5 x} - \frac{2}{25} x e^{5 x} + \frac{2}{125} e^{5 x}) + C$

ステップ 7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$x$ と $\frac{2}{25}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{x \cdot 2}{25} \cdot e^{5 x} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

ステップ 7.1.2

$e^{5 x}$ と $\frac{x \cdot 2}{25}$ をまとめます。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

ステップ 7.1.3

括弧を削除します。

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$

ステップ 7.2

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ の各項を $e^{5 x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{5 x} y = 7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}) + C$ の各項を $e^{5 x}$ で割ります。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{7 (\frac{1}{5} \cdot (x^{2} e^{5 x}) - \frac{e^{5 x} (x \cdot 2)}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.1

$e^{5 x}$ を $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x} - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.1.1

$e^{5 x}$ を $\frac{1}{5} \cdot x^{2} e^{5 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) - \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.1.2

$e^{5 x}$ を $- \frac{e^{5 x} x \cdot 2}{25}$ で因数分解します。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + \frac{2}{125} \cdot e^{5 x})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.1.3

$e^{5 x}$ を $\frac{2}{125} \cdot e^{5 x}$ で因数分解します。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.1.4

$e^{5 x}$ を $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2}) + e^{5 x} (- \frac{x \cdot 2}{25})$ で因数分解します。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.1.5

$e^{5 x}$ を $e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25}) + e^{5 x} \cdot \frac{2}{125}$ で因数分解します。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{1}{5} \cdot x^{2} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.2

$\frac{1}{5}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{7 (e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 \cdot x}{25} + \frac{2}{125}))}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.4

不要な括弧を削除します。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.5

$\frac{x^{2}}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2}}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.6

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $25$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.6.1

$\frac{x^{2}}{5}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{5 \cdot 5} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.6.2

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5}{25} - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.8.1

$x$ を $x^{2} \cdot 5 - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.8.1.1

$x$ を $x^{2} \cdot 5$ で因数分解します。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) - 2 x}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.8.1.2

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5) + x \cdot - 2}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.8.1.3

$x$ を $x (x \cdot 5) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (x \cdot 5 - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.8.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.9

$\frac{x (5 x - 2)}{25}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2)}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $125$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.10.1

$\frac{x (5 x - 2)}{25}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.10.2

$25$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{7 e^{5 x} (\frac{x (5 x - 2) \cdot 5}{125} + \frac{2}{125})}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.11

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{x (5 x - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.12.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(x (5 x) + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x + x \cdot - 2) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x \cdot x - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.12.4.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 (x \cdot x) - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 \cdot x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{(5 x^{2} - 2 x) \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12.5

分配則を当てはめます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{5 x^{2} \cdot 5 - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12.6

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 2 x \cdot 5 + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.12.7

$5$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{7 e^{5 x} \frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.13

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.1.13.1

$\frac{25 x^{2} - 10 x + 2}{125}$ と $7$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.13.2

$\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7}{125}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$y = \frac{\frac{(25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 7 e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.1.14

$7$ を $25 x^{2} - 10 x + 2$ の左に移動させます。

$y = \frac{\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.3

まとめる。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.4

$e^{5 x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} \cdot 1}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) \cdot 1}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.1.5

$7$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ を掛けます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.3

$\frac{C}{e^{5 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{125}{125}$ を掛けます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125} \cdot \frac{e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

ステップ 7.2.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $125 e^{5 x}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.4.1

$\frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2)}{125}$ に $\frac{e^{5 x}}{e^{5 x}}$ をかけます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}} \cdot \frac{125}{125}$

ステップ 7.2.3.4.2

$\frac{C}{e^{5 x}}$ に $\frac{125}{125}$ をかけます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{e^{5 x} \cdot 125}$

ステップ 7.2.3.4.3

$e^{5 x} \cdot 125$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x}}{125 e^{5 x}} + \frac{C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{7 (25 x^{2} - 10 x + 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.6.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{(7 (25 x^{2}) + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.6.2.1

$25$ に $7$ をかけます。

$y = \frac{(175 x^{2} + 7 (- 10 x) + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.6.2.2

$- 10$ に $7$ をかけます。

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 7 \cdot 2) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.6.2.3

$7$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{(175 x^{2} - 70 x + 14) e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.6.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + C \cdot 125}{125 e^{5 x}}$

ステップ 7.2.3.6.4

$125$ を $C$ の左に移動させます。

$y = \frac{175 x^{2} e^{5 x} - 70 x e^{5 x} + 14 e^{5 x} + 125 C}{125 e^{5 x}}$

微分積分 例

微分積分例