微分積分例

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y^{2} + 1 = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 1 = - y^{2}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

ステップ 1.1.3

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{d y}{d x}$ を $x^{2} \frac{d y}{d x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

ステップ 1.1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ 乗します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - y^{2} - 1$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{d y}{d x}$ を ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - y^{2} - 1$

ステップ 1.1.3.4

$\frac{d y}{d x}$ を $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ の各項を $x^{2} + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - y^{2} - 1$ の各項を $x^{2} + 1$ で割ります。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.2

$- 1$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2}) - 1 (1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.4

$- 1$ を $- (y^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.4.3.5.1

$- (y^{2} + 1)$ を $- 1 (y^{2} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 (y^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.1.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{1}{y^{2} + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (- \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2

$y^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.2.1

$- \frac{1}{y^{2} + 1}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ の $y$ に関する積分は $\arctan (y) + C_{1}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C_{2}$ です。

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ として書き換えます。

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

ステップ 3.3

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.1

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.2.2

$\arctan (x)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$\frac{\arctan (y)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 1 \cdot \arctan (y)$ を $- \arctan (y)$ に書き換えます。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.3.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

ステップ 3.3.3.1.4

$K$ を $1$ で割ります。

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

ステップ 3.5

方程式を $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ として書き換えます。

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

ステップ 3.6

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

ステップ 3.7

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

ステップ 3.8

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.8.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.2.2

$\arctan (y)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.3.1.1

$\frac{\arctan (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.3.1.2

$- 1 \cdot \arctan (x)$ を $- \arctan (x)$ に書き換えます。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.8.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

ステップ 3.8.3.1.4

$K$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

ステップ 3.9

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

ステップ 3.10

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

ステップ 3.11

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $\arctan (y)$ を取り出します。

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

ステップ 3.12

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

ステップ 3.13

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.2.2

$\arctan (y)$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.3.1.1

$\frac{\arctan (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.3.1.2

$- 1 \cdot \arctan (x)$ を $- \arctan (x)$ に書き換えます。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 3.13.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

ステップ 3.13.3.1.4

$K$ を $1$ で割ります。

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

ステップ 3.14

方程式の両辺の逆正接の逆をとり、逆正接の中から $y$ を取り出します。

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

微分積分 例

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