微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{9}{1 + x}$ , $y (0) = 7$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{9}{1 + x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{9}{1 + x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{9}{1 + x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + x} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 1 + x$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 1 + x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$1 + x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 2.3.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 9 \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$y + C_{1} = 9 (\ln (| u |) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = 9 \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 2.3.5

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = 9 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$ の $0$ を $x$ に、 $7$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$7 = 9 \ln (| 1 + 0 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $9 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$ として書き換えます。

$9 \ln (| 1 + 0 |) + C = 7$

ステップ 4.2

$9 \ln (| 1 + 0 |) + C$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$9 \ln (| 1 |) + C = 7$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$9 \ln (1) + C = 7$

ステップ 4.2.2.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$9 \cdot 0 + C = 7$

ステップ 4.2.2.3

$9$ に $0$ をかけます。

$0 + C = 7$

ステップ 4.2.3

$0$ と $C$ をたし算します。

$C = 7$

ステップ 5

$7$ を $y = 9 \ln (| 1 + x |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$7$ を $C$ に代入します。

$y = 9 \ln (| 1 + x |) + 7$

ステップ 5.2

対数の中の $9$ を移動させて $9 \ln (| 1 + x |)$ を簡約します。

$y = \ln ({| 1 + x |}^{9}) + 7$

微分積分 例

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