微分積分例

$(a^{2} - 2 x y - y^{2}) d x - {(x + y)}^{2} d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = a^{2} - 2 x y - y^{2}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2} - 2 x y - y^{2}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $a^{2} - 2 x y - y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [a^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$a^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - (2 y)$

ステップ 1.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x - 2 y$

ステップ 1.5

$0$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - 2 y$

ステップ 2

$N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- {(x + y)}^{2}]$

ステップ 2.2

${(x + y)}^{2}$ を $(x + y) (x + y)$ に書き換えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- ((x + y) (x + y))]$

ステップ 2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + y) (x + y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x (x + y) + y (x + y))]$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y (x + y))]$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)]$

ステップ 2.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)]$

ステップ 2.4.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + y x + y^{2})]$

ステップ 2.4.2

$x y$ と $y x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + x y + x y + y^{2})]$

ステップ 2.4.2.2

$x y$ と $x y$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} + 2 x y + y^{2})]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x^{2} + 2 x y + y^{2})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

ステップ 2.6

総和則では、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.8

$2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.11

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y + 0)$

ステップ 2.12

$2 x + 2 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + 2 y)$

ステップ 2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (2 y)$

ステップ 2.13.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (2 y)$

ステップ 2.13.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2 x - 2 y$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $- 2 x - 2 y$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$- 2 x - 2 y = - 2 x - 2 y$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 5

$N (x, y) = - {(x + y)}^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int {(x + y)}^{2} d y$

ステップ 5.2

$u = x + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$u = x + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$x + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 5.2.1.2

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 5.2.1.3

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 5.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 5.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = - \int u^{2} d u$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 5.4

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ に書き換えます。

$f (x, y) = - \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 5.5

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.2

総和則では、 $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.3

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.5

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.7

$3$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.8

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{3}) {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.9

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.10

$\frac{- 3}{3}$ と ${(x + y)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.11

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.1

$3$ を $- 3 {(x + y)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- {(x + y)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- {(x + y)}^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.3.11.2.4

$- {(x + y)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$- {(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} - {(x + y)}^{2} = a^{2} - 2 x y - y^{2}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺に ${(x + y)}^{2}$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$

ステップ 10

$a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int a^{2} - 2 x y - y^{2} + {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.3

単一積分を複数積分に分割します。

$g (x) = \int a^{2} d x + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.4

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = a^{2} x + C + \int - 2 x y d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.5

$- 2 y$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2 y$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y \int x d x + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y^{2} d x + \int {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.7

定数の法則を当てはめます。

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.8

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int {(x + y)}^{2} d x$

ステップ 10.9

$u = x + y$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1

$u = x + y$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1.1

$x + y$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 10.9.1.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 10.9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 10.9.1.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 10.9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \int u^{2} d u$

ステップ 10.10

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$g (x) = a^{2} x + C - 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) - y^{2} x + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 10.11

簡約します。

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 10.12

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$g (x) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

ステップ 12

$- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- \frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ と $\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ をたし算します。

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + 0 + C$

ステップ 12.2

$a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x$ と $0$ をたし算します。

$f (x, y) = a^{2} x - y x^{2} - y^{2} x + C$

微分積分 例

微分積分例