微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}$ , $y (1) = 3$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (3 x^{- 5} + 4 x^{- 1}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} + 4 x^{- 1} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 5} d x + \int 4 x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.4

簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$x^{- 4}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x$

ステップ 2.3.6

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{- 3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.3.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ の $1$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$3 = - \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$ として書き換えます。

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

ステップ 4.2

$- \frac{3}{4 \cdot 1^{4}} + 4 \ln (| 1 |) + C$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3}{4 \cdot 1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

ステップ 4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (| 1 |) + C = 3$

ステップ 4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- \frac{3}{4} + 4 \ln (1) + C = 3$

ステップ 4.2.1.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- \frac{3}{4} + 4 \cdot 0 + C = 3$

ステップ 4.2.1.5

$4$ に $0$ をかけます。

$- \frac{3}{4} + 0 + C = 3$

ステップ 4.2.2

$- \frac{3}{4}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{3}{4} + C = 3$

ステップ 4.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $\frac{3}{4}$ を足します。

$C = 3 + \frac{3}{4}$

ステップ 4.3.2

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$C = 3 \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 4.3.3

$3$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$C = \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{3}{4}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$C = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$3$ に $4$ をかけます。

$C = \frac{12 + 3}{4}$

ステップ 4.3.5.2

$12$ と $3$ をたし算します。

$C = \frac{15}{4}$

ステップ 5

$\frac{15}{4}$ を $y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{15}{4}$ を $C$ に代入します。

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + 4 \ln (| x |) + \frac{15}{4}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{15}{4}$

ステップ 5.2.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$y = - \frac{3}{4 x^{4}} + \ln (x^{4}) + \frac{15}{4}$

微分積分 例

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