微分積分例

$9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{y}{x}$ の関数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ の各項を $9 x y$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$9 x y \frac{d y}{d x} = 8 y^{2} + 5 x^{2}$ の各項を $9 x y$ で割ります。

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 x y \frac{d y}{d x}}{9 x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2}}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1.1

$y$ を $8 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{9 x y} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1.2.1

$y$ を $9 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (8 y)}{y (9 x)} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x^{2}}{9 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.2.1

$x$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{9 x y}$

ステップ 1.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.2.2.1

$x$ を $9 x y$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

ステップ 1.1.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{x (5 x)}{x (9 y)}$

ステップ 1.1.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 y}{9 x} + \frac{5 x}{9 y}$

ステップ 1.2

$\frac{8 y}{9 x}$ から $\frac{y}{x}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{y}{x}$ を $\frac{8 y}{9 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{8}{9} + \frac{5 x}{9 y}$

ステップ 1.2.2

$\frac{y}{x}$ と $\frac{8}{9}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5 x}{9 y}$

ステップ 1.3

微分方程式を $f (\frac{y}{x})$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{5 x}{9 y}$ から $\frac{x}{y}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$\frac{x}{y}$ を $\frac{5 x}{9 y}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{5}{9}$

ステップ 1.3.1.2

$\frac{x}{y}$ と $\frac{5}{9}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} \cdot \frac{x}{y}$

ステップ 1.3.2

$\frac{x}{y}$ を ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} \cdot \frac{y}{x} + \frac{5}{9} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8}{9} V + \frac{5}{9} V^{- 1}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1.1

$\frac{8}{9}$ と $V$ をまとめます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} V^{- 1}$

ステップ 6.1.1.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{V}$

ステップ 6.1.1.1.3

$\frac{5}{9}$ に $\frac{1}{V}$ をかけます。

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V}$

ステップ 6.1.1.2

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$

ステップ 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9}}{x} + \frac{\frac{5}{9 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{8 V}{9} + \frac{5}{9 V} - V}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.2

$- V$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} - V \cdot \frac{9}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.1

$- V$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V}{9} + \frac{- V \cdot 9}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{8 V - V \cdot 9}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1

$V$ を $8 V - V \cdot 9$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

$V$ を $8 V$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 - V \cdot 9}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

$V$ を $- V \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

$V$ を $V \cdot 8 + V (- 1 \cdot 9)$ で因数分解します。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 1 \cdot 9)}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V (8 - 9)}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.1.3

$8$ から $9$ を引きます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{V \cdot - 1}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.2

$- 1$ を $V$ の左に移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} + \frac{- 1 \cdot V}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.1

$- \frac{V}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{V}{V}$ を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V}{9} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.2

$\frac{V}{9}$ に $\frac{V}{V}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5}{9 V} - \frac{V \cdot V}{9 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V \cdot V}{9 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.4

指数を足して $V$ に $V$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.3.4.4.1

$V$ を移動させます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - (V \cdot V)}{9 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.4.4.2

$V$ に $V$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{5 - V^{2}}{9 V}}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.1.3.3.6

$\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

ステップ 6.1.2

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d V}{d x} = \frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.3

両辺に $\frac{9 V}{5 - V^{2}}$ を掛けます。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} (\frac{5 - V^{2}}{9 V} \cdot \frac{1}{x})$

ステップ 6.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$\frac{5 - V^{2}}{9 V}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

ステップ 6.1.4.2

$9 V$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.1

$9 V$ を $9 V x$ で因数分解します。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V (x)}$

ステップ 6.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{9 V}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{9 V x}$

ステップ 6.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.4.3

$5 - V^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{5 - V^{2}} \cdot \frac{5 - V^{2}}{x}$

ステップ 6.1.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 6.1.5

方程式を書き換えます。

$\frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{9 V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$9$ は $V$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$9 \int \frac{V}{5 - V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$u = 5 - V^{2}$ とします。次に $d u = - 2 V d V$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = V d V$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$u = 5 - V^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d V}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$5 - V^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d V} [5 - V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.2.1

総和則では、 $5 - V^{2}$ の $V$ に関する積分は $\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$ です。

$\frac{d}{d V} [5] + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.2.2

$5$ は $V$ について定数なので、 $V$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d V} [- V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.3

$\frac{d}{d V} [- V^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.3.1

$- 1$ は $V$ に対して定数なので、 $V$ に対する $- V^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d V} [V^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d V} [V^{2}]$

ステップ 6.2.2.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ は $n V^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 V)$

ステップ 6.2.2.2.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 V$

ステップ 6.2.2.2.1.4

$0$ から $2 V$ を引きます。

$- 2 V$

ステップ 6.2.2.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$9 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$9 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.3.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$9 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$9 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.5

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- 9 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.7.1

$\frac{1}{2}$ と $- 9$ をまとめます。

$\frac{- 9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{9}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.9

簡約します。

$- \frac{9}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.2.10

$u$ のすべての発生を $5 - V^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $- \frac{2}{9}$ を掛けます。

$- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |)) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$- \frac{2}{9} (- \frac{9}{2} \ln (| 5 - V^{2} |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

$\ln (| 5 - V^{2} |)$ と $\frac{9}{2}$ をまとめます。

$- \frac{2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

$- \frac{2}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{9} (- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

$- \frac{\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{9} \cdot \frac{- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9}{2} = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{9} (- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.3

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.3.1

$9$ を $- \ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{9} (9 \cdot (- \ln (| 5 - V^{2} |))) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.3.3

式を書き換えます。

$- - \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.1.1.4.2

$\ln (| 5 - V^{2} |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$- \frac{2}{9} (\ln (| x |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2}{9} \ln (| x |) - \frac{2}{9} C$

ステップ 6.3.2.2.1.1.2

$\ln (| x |)$ と $\frac{2}{9}$ をまとめます。

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{2}{9} C$

ステップ 6.3.2.2.1.1.3

$C$ と $\frac{2}{9}$ をまとめます。

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 2}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.2.1

$2$ を $\ln (| x |)$ の左に移動させます。

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \cdot \ln (| x |)}{9} - \frac{C \cdot 2}{9}$

ステップ 6.3.2.2.1.2.2

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$

ステップ 6.3.3

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ の各項に $9$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$\ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} - \frac{2 C}{9}$ の各項に $9$ を掛けます。

$\ln (| 5 - V^{2} |) \cdot 9 = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

ステップ 6.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$9$ を $\ln (| 5 - V^{2} |)$ の左に移動させます。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - \frac{2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

ステップ 6.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1.1.1

$- \frac{2 \ln (| x |)}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

ステップ 6.3.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = \frac{- 2 \ln (| x |)}{9} \cdot 9 - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

ステップ 6.3.3.3.1.1.3

式を書き換えます。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - \frac{2 C}{9} \cdot 9$

ステップ 6.3.3.3.1.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.3.1.2.1

$- \frac{2 C}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

ステップ 6.3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) + \frac{- 2 C}{9} \cdot 9$

ステップ 6.3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

ステップ 6.3.4

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

ステップ 6.3.5

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1

$9 \ln (| 5 - V^{2} |) + 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.5.1.1.1

対数の中の $9$ を移動させて $9 \ln (| 5 - V^{2} |)$ を簡約します。

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

ステップ 6.3.5.1.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

ステップ 6.3.5.1.1.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9}) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

ステップ 6.3.5.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2}) = - 2 C$

ステップ 6.3.5.1.3

$\ln ({| 5 - V^{2} |}^{9} x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$

ステップ 6.3.6

$V$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9})} = e^{- 2 C}$

ステップ 6.3.7

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}) = - 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2 C} = x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}$

ステップ 6.3.8

$V$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.1

方程式を $x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ として書き換えます。

$x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$

ステップ 6.3.8.2

$x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.2.1

$x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9} = e^{- 2 C}$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.2.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} {| 5 - V^{2} |}^{9}}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.2.2.1.2

${| 5 - V^{2} |}^{9}$ を $1$ で割ります。

${| 5 - V^{2} |}^{9} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$| 5 - V^{2} | = \sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$

ステップ 6.3.8.4

$\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.1

$\sqrt[9]{\frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}$ を $\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ に書き換えます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$

ステップ 6.3.8.4.2

$\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ をかけます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

ステップ 6.3.8.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.3.1

$\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}}}{\sqrt[9]{x^{2}}}$ に $\frac{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$ をかけます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{\sqrt[9]{x^{2}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

ステップ 6.3.8.4.3.2

$\sqrt[9]{x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}$

ステップ 6.3.8.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{1 + 8}}$

ステップ 6.3.8.4.3.4

$1$ と $8$ をたし算します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5

${\sqrt[9]{x^{2}}}^{9}$ を $x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[9]{x^{2}}$ を $x^{\frac{2}{9}}$ に書き換えます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{{(x^{\frac{2}{9}})}^{9}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{9} \cdot 9}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.3

$\frac{2}{9}$ と $9$ をまとめます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2 \cdot 9}{9}}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.4

$2$ に $9$ をかけます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{18}{9}}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.5

$18$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.3.5.5.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9}}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.3.5.5.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 (1)}}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 1}}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.5.2.3

式を書き換えます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{\frac{2}{1}}}$

ステップ 6.3.8.4.3.5.5.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} {\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.4.1

${\sqrt[9]{x^{2}}}^{8}$ を $\sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}$ に書き換えます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{{(x^{2})}^{8}}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.4.2

${(x^{2})}^{8}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{2 \cdot 8}}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.4.2.2

$2$ に $8$ をかけます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{16}}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.4.3

$x^{9}$ を因数分解します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} \sqrt[9]{x^{9} x^{7}}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.4.4

累乗根の下から項を取り出します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C}} x \sqrt[9]{x^{7}}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.4.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.5.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.5.1.1

$x$ を $x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}$ で因数分解します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x^{2}}$

ステップ 6.3.8.4.5.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.4.5.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

ステップ 6.3.8.4.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$| 5 - V^{2} | = \frac{x \sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x \cdot x}$

ステップ 6.3.8.4.5.1.2.3

式を書き換えます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$

ステップ 6.3.8.4.5.2

$\frac{\sqrt[9]{e^{- 2 C} x^{7}}}{x}$ の因数を並べ替えます。

$| 5 - V^{2} | = \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

ステップ 6.3.8.5

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$5 - V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}$

ステップ 6.3.8.6

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$

ステップ 6.3.8.7

$- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.7.1

$- V^{2} = \pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x} - 5$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- V^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 6.3.8.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{V^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 6.3.8.7.2.2

$V^{2}$ を $1$ で割ります。

$V^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 6.3.8.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.7.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.8.7.3.1.1

$\frac{\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$V^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 6.3.8.7.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ を $- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x})$ に書き換えます。

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + \frac{- 5}{- 1}$

ステップ 6.3.8.7.3.1.3

$- 5$ を $- 1$ で割ります。

$V^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5$

ステップ 6.3.8.8

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} e^{- 2 C}}}{x}) + 5}$

ステップ 6.4

積分定数を簡約します。

$V = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

ステップ 8.2.1.2

式を書き換えます。

$y = (\pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[9]{x^{7} C}}{x}) + 5}) x$

微分積分 例

微分積分例