微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int 8 t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $t$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 8 \int t {(3 t^{2} - 5)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2

$u = 3 t^{2} - 5$ とします。次に $d u = 6 t d t$ すると、 $\frac{1}{6} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 3 t^{2} - 5$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$3 t^{2} - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 5]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $3 t^{2} - 5$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$- 5$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$6 t + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$6 t$ と $0$ をたし算します。

$6 t$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{1} = 8 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

ステップ 2.3.3

$u^{3}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 8 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{6}$ と $8$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{8}{6} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2

$8$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$s + C_{1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{4}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ を $\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$\frac{4}{3}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$s + C_{1} = \frac{4}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$3$ に $4$ をかけます。

$s + C_{1} = \frac{4}{12} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3

$4$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.3.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{4 (1)}{12} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.3.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$s + C_{1} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{1}{3} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $3 t^{2} - 5$ で置き換えます。

$s + C_{1} = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = \frac{1}{3} {(3 t^{2} - 5)}^{4} + K$

微分積分 例

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