微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $1 - y$ を掛けます。

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

ステップ 1.2

$1 - y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = (1 - y) \frac{x^{2}}{1 - y}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(1 - y) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(1 - y) d y = x^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int 1 - y d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int d y + \int - y d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} + \int - y d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} - \int y d y = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.4

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$y + C_{1} - (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$y - \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.2.6

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x^{2} d x$

ステップ 2.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- \frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$y^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

ステップ 3.2

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- \frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{3}}{3} + K$

ステップ 3.3

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $\frac{x^{3}}{3}$ を引きます。

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} = K$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{3}}{3} - K = 0$

ステップ 3.4

両辺に最小公分母 $6$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$6 (- \frac{y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2

簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$- \frac{y^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) (\frac{- y^{2}}{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.1.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot (3 (\frac{- y^{2}}{2})) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.1.4

式を書き換えます。

$3 (- y^{2}) + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (- \frac{x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.3.1

$- \frac{x^{3}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 3 y^{2} + 6 y + 6 (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.3.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 (2) (\frac{- x^{3}}{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.3.3

共通因数を約分します。

$- 3 y^{2} + 6 y + 3 \cdot (2 (\frac{- x^{3}}{3})) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.3.4

式を書き換えます。

$- 3 y^{2} + 6 y + 2 (- x^{3}) + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} + 6 (- K) = 0$

ステップ 3.4.2.5

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 3 y^{2} + 6 y - 2 x^{3} - 6 K = 0$

ステップ 3.4.3

$6 y$ を移動させます。

$- 3 y^{2} - 2 x^{3} - 6 K + 6 y = 0$

ステップ 3.4.4

$- 3 y^{2}$ と $- 2 x^{3}$ を並べ替えます。

$- 2 x^{3} - 3 y^{2} - 6 K + 6 y = 0$

ステップ 3.5

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.6

$a = - 3$ 、 $b = 6$ 、および $c = - 2 x^{3} - 6 K$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (- 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.4

$- 2$ に $12$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.5

$- 6$ に $12$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.6

$12$ を $36 - 24 x^{3} - 72 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.1.6.1

$12$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) - 24 x^{3} - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.6.2

$12$ を $- 24 x^{3}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) - 72 K}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.6.3

$12$ を $- 72 K$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3) + 12 (- 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.6.4

$12$ を $12 (3) + 12 (- 2 x^{3})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.6.5

$12$ を $12 (3 - 2 x^{3}) + 12 (- 6 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.7

$12 (3 - 2 x^{3} - 6 K)$ を $2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))$ に書き換えます。

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ステップ 3.7.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (3) (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.7.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (3 - 2 x^{3} - 6 K))}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{- 6}$ を簡約します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} - 6 K)}}{3}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 - 2 x^{3} + K)}}{3}$

微分積分 例

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