微分積分例

$\frac{d u}{d t} = e^{4 u + 6 t}$

ステップ 1

$v = e^{4 u + 6 t}$ とします。 $v$ を $e^{4 u + 6 t}$ に代入します。

$\frac{d u}{d t} = v$

ステップ 2

$e^{4 u + 6 t}$ を微分し、 $\frac{d v}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 4 u + 6 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 u + 6 t$ とします。

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 u + 6 t$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} \frac{d}{d t} [4 u + 6 t]$

ステップ 2.2

総和則では、 $4 u + 6 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t]$ です。

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (\frac{d}{d t} [4 u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

ステップ 2.3

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 u$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [u]$ です。

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 \frac{d}{d t} [u] + \frac{d}{d t} [6 t])$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d t} [u]$ を $u'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + \frac{d}{d t} [6 t])$

ステップ 2.5

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $6 t$ の微分係数は $6 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6 \cdot 1)$

ステップ 2.7

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d t} = e^{4 u + 6 t} (4 u' + 6)$

ステップ 3

$v$ を $e^{4 u + 6 t}$ に代入します。

$\frac{d v}{d t} = v (4 u' + 6)$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} - \frac{3}{2} = v$

ステップ 5

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{d v}{d t}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺に $\frac{3}{2}$ を足します。

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} = v + \frac{3}{2}$

ステップ 5.1.2

両辺に $4 v$ を掛けます。

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v) = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

ステップ 5.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$\frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} (4 v)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

ステップ 5.1.3.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1.2.1

$4$ を $4 v$ で因数分解します。

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

ステップ 5.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{\frac{d v}{d t}}{4 v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

ステップ 5.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

ステップ 5.1.3.1.1.3

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

ステップ 5.1.3.1.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d t} = (v + \frac{3}{2}) (4 v)$

ステップ 5.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1

$(v + \frac{3}{2}) (4 v)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d v}{d t} = v (4 v) + \frac{3}{2} (4 v)$

ステップ 5.1.3.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (4 v)$

ステップ 5.1.3.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1.3.1

$2$ を $4 v$ で因数分解します。

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

ステップ 5.1.3.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + \frac{3}{2} (2 (2 v))$

ステップ 5.1.3.2.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 3 (2 v)$

ステップ 5.1.3.2.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d v}{d t} = 4 v \cdot v + 6 v$

ステップ 5.1.3.2.1.5

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1.5.1

$v$ を移動させます。

$\frac{d v}{d t} = 4 (v \cdot v) + 6 v$

ステップ 5.1.3.2.1.5.2

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d t} = 4 v^{2} + 6 v$

ステップ 5.2

両辺に $\frac{1}{4 v^{2} + 6 v}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

ステップ 5.3

$4 v^{2} + 6 v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} (4 v^{2} + 6 v)$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} \frac{d v}{d t} = 1$

ステップ 5.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = 1 d t$

ステップ 6

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{4 v^{2} + 6 v} d v = \int d t$

ステップ 6.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$2 v$ を $4 v^{2} + 6 v$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1.1

$2 v$ を $4 v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 v (2 v) + 6 v}$

ステップ 6.2.1.1.1.2

$2 v$ を $6 v$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 v (2 v) + 2 v \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.1.1.3

$2 v$ を $2 v (2 v) + 2 v \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 v (2 v + 3)}$

ステップ 6.2.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $2 v (2 v + 3)$ です。

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 v (2 v + 3))}{2 v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.5

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (v (2 v + 3))}{v (2 v + 3)} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.6

$2 v + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 v + 3)}{2 v + 3} = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.7.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (2 v (2 v + 3))}{v} + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.1.2

$A (2 (2 v + 3))$ を $1$ で割ります。

$1 = A (2 (2 v + 3)) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 2 A (2 v + 3) + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.3

分配則を当てはめます。

$1 = 2 A (2 v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 2 A \cdot 3 + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.5

$3$ に $2$ をかけます。

$1 = 2 \cdot (2 A v) + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.6

$2$ に $2$ をかけます。

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.7

$2 v + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.7.7.1

共通因数を約分します。

$1 = 4 A v + 6 A + \frac{B (2 v (2 v + 3))}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.1.7.7.2

$B (2 v)$ を $1$ で割ります。

$1 = 4 A v + 6 A + B (2 v)$

ステップ 6.2.1.1.7.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 = 4 A v + 6 A + 2 B v$

ステップ 6.2.1.1.8

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.8.1

$A$ を移動させます。

$1 = 4 v A + 6 A + 2 B v$

ステップ 6.2.1.1.8.2

$B$ を移動させます。

$1 = 4 v A + 6 A + 2 v B$

ステップ 6.2.1.1.8.3

$6 A$ を移動させます。

$1 = 4 v A + 2 v B + 6 A$

ステップ 6.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

式の両辺から $v$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 6.2.1.2.2

式の両辺から $v$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 6 A$

ステップ 6.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

$0 = 4 A + 2 B$

$1 = 6 A$

ステップ 6.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

$1 = 6 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.1

方程式を $6 A = 1$ として書き換えます。

$6 A = 1$

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 6.2.1.3.1.2

$6 A = 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.2.1

$6 A = 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 6.2.1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 6.2.1.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 4 A + 2 B$

ステップ 6.2.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{6}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.1

$0 = 4 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{6}$ で置き換えます。

$0 = 4 (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$0 = 2 (2) (\frac{1}{6}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.2.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.2.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$0 = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2 \cdot 3})) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.2.2.1.1.4

式を書き換えます。

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = 2 (\frac{1}{3}) + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.2.2.1.2

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3

$0 = \frac{2}{3} + 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.1

方程式を $\frac{2}{3} + 2 B = 0$ として書き換えます。

$\frac{2}{3} + 2 B = 0$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.2

方程式の両辺から $\frac{2}{3}$ を引きます。

$2 B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3

$2 B = - \frac{2}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.3.1

$2 B = - \frac{2}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$B = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.3.3.3.2.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$B = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.3.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$B = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.3.2.3

共通因数を約分します。

$B = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.3.2.4

式を書き換えます。

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{- 1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.3.3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.4

連立方程式を解きます。

$B = - \frac{1}{3} A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$B = - \frac{1}{3}, A = \frac{1}{6}$

ステップ 6.2.1.4

$\frac{A}{v} + \frac{B}{2 v + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{6}}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.5.2

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{v}$ をかけます。

$\frac{1}{6 v} + \frac{- \frac{1}{3}}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2 v + 3}$

ステップ 6.2.1.5.4

$\frac{1}{2 v + 3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{6 v} - \frac{1}{(2 v + 3) \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.5.5

$3$ を $2 v + 3$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{6 v} - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

ステップ 6.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{6 v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{6}$ は $v$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

ステップ 6.2.4

$\frac{1}{v}$ の $v$ に関する積分は $\ln (| v |)$ です。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

ステップ 6.2.5

$- 1$ は $v$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{1}{3 (2 v + 3)} d v = \int d t$

ステップ 6.2.6

$\frac{1}{3}$ は $v$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{2 v + 3} d v) = \int d t$

ステップ 6.2.7

$u_{2} = 2 v + 3$ とします。次に $d u_{2} = 2 d v$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d v$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

$u_{2} = 2 v + 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d v}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1.1

$2 v + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d v} [2 v + 3]$

ステップ 6.2.7.1.2

総和則では、 $2 v + 3$ の $v$ に関する積分は $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$ です。

$\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [3]$

ステップ 6.2.7.1.3

$\frac{d}{d v} [2 v]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1.3.1

$2$ は $v$ に対して定数なので、 $v$ に対する $2 v$ の微分係数は $2 \frac{d}{d v} [v]$ です。

$2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [3]$

ステップ 6.2.7.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ は $n v^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [3]$

ステップ 6.2.7.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d v} [3]$

ステップ 6.2.7.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1.4.1

$3$ は $v$ について定数なので、 $v$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 6.2.7.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 6.2.7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int d t$

ステップ 6.2.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d t$

ステップ 6.2.8.2

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d t$

ステップ 6.2.9

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d t$

ステップ 6.2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

ステップ 6.2.10.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

ステップ 6.2.11

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{6} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

ステップ 6.2.12

簡約します。

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

ステップ 6.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

ステップ 6.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{6} \ln (| v |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

ステップ 7

$v$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$\frac{1}{6}$ と $\ln (| v |)$ をまとめます。

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) = t + C$

ステップ 7.1.1.2

$\ln (| u_{2} |)$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$

ステップ 7.2

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ の各項に $6$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{\ln (| v |)}{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} = t + C$ の各項に $6$ を掛けます。

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (| v |)}{6} \cdot 6 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 7.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 7.2.2.1.2

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.2.1

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 7.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{6} \cdot 6 = t \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 7.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t \cdot 6 + C \cdot 6$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1

$6$ を $t$ の左に移動させます。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 \cdot t + C \cdot 6$

ステップ 7.2.3.1.2

$6$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 6 t + 6 C$

ステップ 7.3

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$

ステップ 7.4

$v$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{6 t + 6 C}$

ステップ 7.5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 6 t + 6 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{6 t + 6 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

ステップ 7.6

$v$ について解きます。

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ステップ 7.6.1

方程式を $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$ として書き換えます。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{6 t + 6 C}$

ステップ 7.6.2

両辺に $| u_{2} |$ を掛けます。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

ステップ 7.6.3

左辺を簡約します。

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ステップ 7.6.3.1

$| u_{2} |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

ステップ 7.6.3.1.2

式を書き換えます。

$| v | = e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$

ステップ 7.6.4

$v$ について解きます。

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ステップ 7.6.4.1

$e^{6 t + 6 C} | u_{2} |$ の因数を並べ替えます。

$| v | = | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

ステップ 7.6.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + 6 C}$

ステップ 8

定数項をまとめます。

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ステップ 8.1

積分定数を簡約します。

$v = \pm | u_{2} | e^{6 t + C}$

ステップ 8.2

$e^{6 t + C}$ を $e^{6 t} e^{C}$ に書き換えます。

$v = \pm | u_{2} | (e^{6 t} e^{C})$

ステップ 8.3

$e^{6 t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{6 t})$

ステップ 8.4

定数を正または負でまとめます。

$v = C | u_{2} | e^{6 t}$

ステップ 9

$v$ のすべての発生を $e^{4 u + 6 t}$ で置き換えます。

$e^{4 u + 6 t} = C | u_{2} | e^{6 t}$

微分積分 例

微分積分例