微分積分例

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = e^{x} + 2 x e^{- y}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + 2 x e^{- y}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $e^{x} + 2 x e^{- y}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

ステップ 1.2.2

$e^{x}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $e^{x}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x e^{- y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x e^{- y}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

ステップ 1.3.2

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = - y$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- y$ とします。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- y$ で置き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 1.3.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (e^{- y} \cdot - 1)$

ステップ 1.3.6

$- 1$ を $e^{- y}$ の左に移動させます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- 1 \cdot e^{- y})$

ステップ 1.3.7

$- 1 e^{- y}$ を $- e^{- y}$ に書き換えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x (- e^{- y})$

ステップ 1.3.8

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x e^{- y}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$0$ から $2 x e^{- y}$ を引きます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

ステップ 1.4.2

$- 2 x e^{- y}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- y} x$

ステップ 1.4.3

$- 2 e^{- y} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- y}$

ステップ 2

$N (x, y) = e^{x} + e^{- y}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- y}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $e^{x} + e^{- y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

ステップ 2.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- y}]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$e^{- y}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $e^{- y}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} + 0$

ステップ 2.4.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 2 x e^{- y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $e^{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$- 2 x e^{- y} = e^{x}$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$e^{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{e^{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$- 2 x e^{- y}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{M}$

ステップ 4.3

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ を $M$ に代入します。

$\frac{e^{x} - (- 2 x e^{- y})}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

ステップ 4.3.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

ステップ 4.3.3

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} + 2 x e^{- y}}{e^{x} + 2 x e^{- y}}$

ステップ 4.3.3.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

定数の法則を当てはめます。

$μ (x, y) = e^{y + C}$

ステップ 5.2

簡約します。

$μ (x, y) = e^{y} + C$

ステップ 6

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $e^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$e^{x} + 2 x e^{- y}$ に $e^{y}$ をかけます。

$(e^{x} + 2 x e^{- y}) e^{y} d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(e^{x} e^{y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{x + y} + 2 x e^{- y} e^{y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 6.4

指数を足して $e^{- y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$e^{y}$ を移動させます。

$(e^{x + y} + 2 x (e^{y} e^{- y})) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 6.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{x + y} + 2 x e^{y - y}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 6.4.3

$y$ から $y$ を引きます。

$(e^{x + y} + 2 x e^{0}) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 6.5

$2 x e^{0}$ を簡約します。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) d y = 0$

ステップ 6.6

$e^{x} + e^{- y}$ に $e^{y}$ をかけます。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} + e^{- y}) e^{y} d y = 0$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x} e^{y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y} e^{y}) d y = 0$

ステップ 6.9

指数を足して $e^{- y}$ に $e^{y}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{- y + y}) d y = 0$

ステップ 6.9.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + e^{0}) d y = 0$

ステップ 6.10

$e^{0}$ を簡約します。

$(e^{x + y} + 2 x) d x + (e^{x + y} + 1) d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int e^{x + y} + 1 d y$

ステップ 8

$N (x, y) = e^{x + y} + 1$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int d y$

ステップ 8.2

$u = x + y$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$u = x + y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x + y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [x + y]$

ステップ 8.2.1.2

総和則では、 $x + y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 8.2.1.3

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 8.2.1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 1$

ステップ 8.2.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int d y$

ステップ 8.3

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$f (x, y) = e^{u} + C + \int d y$

ステップ 8.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = e^{u} + C + y + C$

ステップ 8.5

簡約します。

$f (x, y) = e^{u} + y + C$

ステップ 8.6

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$f (x, y) = e^{x + y} + y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} + y + g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.2

総和則では、 $e^{x + y} + y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + y$ で置き換えます。

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.3.6

$e^{x + y}$ に $1$ をかけます。

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x + y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.5

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$e^{x + y} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.6.1

$e^{x + y}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x + y} + \frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 11.6.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = e^{x + y} + 2 x$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $e^{x + y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$

ステップ 12.1.2

$e^{x + y} + 2 x - e^{x + y}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$e^{x + y}$ から $e^{x + y}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

ステップ 12.1.2.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

ステップ 13

$2 x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 2 x d x$

ステップ 13.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 2 \int x d x$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = 1 x^{2} + C$

ステップ 13.5.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (x) = x^{2} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = e^{x + y} + y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = e^{x + y} + y + x^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例