微分積分例

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

ステップ 1

$x$ について両辺を積分します。

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ステップ 1.1

一次導関数は、 $x$ について二次導関数の積分に等しいです。

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

ステップ 1.2

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$u_{1} = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 1.2.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.2.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 1.3

$\sqrt{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

ステップ 1.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

ステップ 1.5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 1.6

べき乗則では、 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

ステップ 1.7

簡約します。

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ステップ 1.7.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ に書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 1.7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 1.7.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 1.7.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 1.7.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 1.7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 1.7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 1.8

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

ステップ 2

方程式を書き換えます。

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

ステップ 3

両辺を積分します。

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ステップ 3.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

ステップ 3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

ステップ 3.3

右辺を積分します。

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ステップ 3.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.3

$u_{2} = 2 x - 1$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$u_{2} = 2 x - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$2 x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

ステップ 3.3.3.1.2

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.3.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.3.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.3.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 3.3.3.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 3.3.3.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.4

${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.5

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.7

べき乗則では、 ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ です。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

ステップ 3.3.8

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

ステップ 3.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.1

簡約します。

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.2.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{2}{5}$ をかけます。

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.9.2.2

$6$ に $5$ をかけます。

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.9.2.3

$2$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.9.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.9.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.9.2.3.2.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.9.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.9.2.3.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.3.10

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

ステップ 3.4

右辺の積分定数を $D$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$

微分積分 例

微分積分例