微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{x f (x) - 16 (f x)}{x^{17}}$

ステップ 1

微分方程式の解を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$

ステップ 2

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分数 $\frac{x y - 16 (f x)}{x^{17}}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{17}} + \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

ステップ 2.1.2

方程式の両辺から $\frac{x y}{x^{17}}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 (f x)}{x^{17}}$

ステップ 2.2

孤立係数で方程式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{17}} = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 2.3

$y$ を $- \frac{x y}{x^{17}}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{17}}) = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 2.4

$y$ と $- \frac{x}{x^{17}}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{17}} y = \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 3

$P (x) = - \frac{x}{x^{17}}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{x}{x^{17}} d x}$

ステップ 3.2

$- \frac{x}{x^{17}}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x$ と $x^{17}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{\int - \frac{x^{1}}{x^{17}} d x}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x^{17}} d x}$

ステップ 3.2.1.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

$x$ を $x^{17}$ で因数分解します。

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

ステップ 3.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$e^{\int - \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} d x}$

ステップ 3.2.1.3.3

式を書き換えます。

$e^{\int - \frac{1}{x^{16}} d x}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{1}{x^{16}} d x}$

ステップ 3.2.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$x^{16}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$e^{- \int {(x^{16})}^{- 1} d x}$

ステップ 3.2.3.2

${(x^{16})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{- \int x^{16 \cdot - 1} d x}$

ステップ 3.2.3.2.2

$16$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- \int x^{- 16} d x}$

ステップ 3.2.4

べき乗則では、 $x^{- 16}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{15} x^{- 15}$ です。

$e^{- (- \frac{1}{15} x^{- 15} + C)}$

ステップ 3.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1.1

$x^{- 15}$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$e^{- (- \frac{x^{- 15}}{15} + C)}$

ステップ 3.2.5.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 15}$ を分母に移動させます。

$e^{- (- \frac{1}{15 x^{15}} + C)}$

ステップ 3.2.5.2

簡約します。

$e^{- - \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

ステップ 3.2.5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{1 \frac{1}{15 x^{15}} + C}$

ステップ 3.2.5.3.2

$\frac{1}{15 x^{15}}$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}} + C}$

ステップ 3.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$

ステップ 4

各項に積分因数 $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項に $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ を掛けます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2.2

$x$ と $x^{17}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x^{1}}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{17}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

$x$ を $x^{17}$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2.2.3.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2.2.3.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (\frac{1}{x^{16}} y) = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{x^{16}}$ と $y$ をまとめます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{y}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.2.4

$\frac{y}{x^{16}}$ と $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ をまとめます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f x}{x^{17}}$

ステップ 4.3

$x$ と $x^{17}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$x$ を $- 16 f x$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x^{17}}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$x$ を $x^{17}$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{x (- 16 f)}{x \cdot x^{16}}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{- 16 f}{x^{16}}$

ステップ 4.4

分数の前に負数を移動させます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = e^{\frac{1}{15 x^{15}}} (- \frac{16 f}{x^{16}})$

ステップ 4.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{16 f}{x^{16}}$

ステップ 4.6

$\frac{16 f}{x^{16}}$ と $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ をまとめます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} \frac{d y}{d x} - \frac{y e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

ステップ 5

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] = - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}}$

ステップ 6

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y] d x = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

ステップ 7

左辺を積分します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = \int - \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

ステップ 8

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - \int \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

ステップ 8.2

$16 f$ は $x$ に対して定数なので、 $16 f$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - (16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x)$

ステップ 8.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int \frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{x^{16}} d x$

ステップ 8.4

$u = \frac{1}{15 x^{15}}$ とします。次に $d u = - \frac{1}{x^{16}} d x$ すると、 $- d u = \frac{1}{x^{16}} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$u = \frac{1}{15 x^{15}}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$\frac{1}{15 x^{15}}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{15 x^{15}}]$

ステップ 8.4.1.2

$\frac{1}{15}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{15 x^{15}}$ の微分係数は $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$ です。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{15}}]$

ステップ 8.4.1.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.3.1

$\frac{1}{x^{15}}$ を ${(x^{15})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{15})}^{- 1}]$

ステップ 8.4.1.3.2

${(x^{15})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{15 \cdot - 1}]$

ステップ 8.4.1.3.2.2

$15$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 15}]$

ステップ 8.4.1.4

$n = - 15$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{15} (- 15 x^{- 16})$

ステップ 8.4.1.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.5.1

$- 15$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$\frac{- 15}{15} x^{- 16}$

ステップ 8.4.1.5.2

$\frac{- 15}{15}$ と $x^{- 16}$ をまとめます。

$\frac{- 15 x^{- 16}}{15}$

ステップ 8.4.1.5.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 16}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 15}{15 x^{16}}$

ステップ 8.4.1.5.4

$- 15$ と $15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.5.4.1

$15$ を $- 15$ で因数分解します。

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

ステップ 8.4.1.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.5.4.2.1

$15$ を $15 x^{16}$ で因数分解します。

$\frac{15 \cdot - 1}{15 (x^{16})}$

ステップ 8.4.1.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{15 \cdot - 1}{15 x^{16}}$

ステップ 8.4.1.5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{x^{16}}$

ステップ 8.4.1.5.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{x^{16}}$

ステップ 8.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f \int - e^{u} d u$

ステップ 8.5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = - 16 f (- \int e^{u} d u)$

ステップ 8.6

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f \int e^{u} d u$

ステップ 8.7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f (e^{u} + C)$

ステップ 8.8

簡約します。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{u} + C$

ステップ 8.9

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{15 x^{15}}$ で置き換えます。

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$

ステップ 9

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ の各項を $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y = 16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}} + C$ の各項を $e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{1}{15 x^{15}}} y}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

ステップ 9.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$e^{\frac{1}{15 x^{15}}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{16 f e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}} + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

ステップ 9.3.1.2

$16 f$ を $1$ で割ります。

$y = 16 f + \frac{C}{e^{\frac{1}{15 x^{15}}}}$

微分積分 例

微分積分例