微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{- 7 y + 4}$ を掛けます。

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 7 y + 4} \cdot \frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\frac{1}{- 7 y + 4}$ に $\frac{- 7 y + 4}{6 x - 7}$ をかけます。

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

ステップ 1.2.2

$- 7 y + 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{- 7 y + 4}{(- 7 y + 4) (6 x - 7)}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 7 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 x - 7}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{- 7 y + 4} d y = \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{- 7 y + 4} d y = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = - 7 y + 4$ とします。次に $d u_{1} = - 7 d y$ すると、 $- \frac{1}{7} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = - 7 y + 4$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$- 7 y + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- 7 y + 4]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $- 7 y + 4$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$ です。

$\frac{d}{d y} [- 7 y] + \frac{d}{d y} [4]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [- 7 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

$- 7$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 7 y$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$- 7$ に $1$ をかけます。

$- 7 + \frac{d}{d y} [4]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

$4$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 7 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$- 7$ と $0$ をたし算します。

$- 7$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{7}) d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{7}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 7} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.2.3

$7$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{7}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- \frac{1}{7} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$- \frac{1}{7} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.2.7

$u_{1}$ のすべての発生を $- 7 y + 4$ で置き換えます。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 x - 7} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = 6 x - 7$ とします。次に $d u_{2} = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = 6 x - 7$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$6 x - 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x - 7]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $6 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$6 + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$6$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{6}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x - 7$ で置き換えます。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 7$ を掛けます。

$- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |)) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 7 (- \frac{1}{7} \ln (| - 7 y + 4 |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\ln (| - 7 y + 4 |)$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$- 7 (- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| - 7 y + 4 |)}{7}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 7 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$7 (- 1) \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$7 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 7 y + 4 |)}{7} = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.3

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$\ln (| - 7 y + 4 |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 7 (\frac{1}{6} \ln (| 6 x - 7 |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{6}$ と $\ln (| 6 x - 7 |)$ をまとめます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 (\frac{\ln (| 6 x - 7 |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + C \cdot 6}{6}$

ステップ 3.2.2.1.4

$6$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - 7 \frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$

ステップ 3.2.2.1.5

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.5.1

$- 7$ と $\frac{\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C}{6}$ をまとめます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = \frac{- 7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

ステップ 3.2.2.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| - 7 y + 4 |)} = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| - 7 y + 4 |) = - \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} = | - 7 y + 4 |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$ として書き換えます。

$| - 7 y + 4 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

ステップ 3.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$- 7 y + 4 = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$

ステップ 3.5.4

$- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ の各項を $- 7$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.1

$- 7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} - 4$ の各項を $- 7$ で割ります。

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

ステップ 3.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

$- 7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7} + \frac{- 4}{- 7}$

ステップ 3.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{- 7}$ を簡約します。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{- 4}{- 7}$

ステップ 3.5.4.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}}}{7} + \frac{4}{7}$

ステップ 3.5.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + 6 C)}{6}} + 4}{7}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 6 x - 7 |) + C)}{6}} + 4}{7}$

微分積分 例

微分積分例