微分積分例

$\frac{d P}{d t} = 500 - 0.12 P$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{500 - 0.12 P}$ を掛けます。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

ステップ 1.2

$500 - 0.12 P$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{500 - 0.12 P} (500 - 0.12 P)$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} \frac{d P}{d t} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{500 - 0.12 P} d P = 1 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{500 - 0.12 P} d P = \int d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = 500 - 0.12 P$ とします。次に $d u = - 0.12 d P$ すると、 $\frac{1}{- 0.12} d u = d P$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = 500 - 0.12 P$ とします。 $\frac{d u}{d P}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$500 - 0.12 P$ を微分します。

$\frac{d}{d P} [500 - 0.12 P]$

ステップ 2.2.1.1.2

微分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

総和則では、 $500 - 0.12 P$ の $P$ に関する積分は $\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ です。

$\frac{d}{d P} [500] + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

ステップ 2.2.1.1.2.2

$500$ は $P$ について定数なので、 $P$ について $500$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d P} [- 0.12 P]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d P} [- 0.12 P]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$- 0.12$ は $P$ に対して定数なので、 $P$ に対する $- 0.12 P$ の微分係数は $- 0.12 \frac{d}{d P} [P]$ です。

$0 - 0.12 \frac{d}{d P} [P]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ は $n P^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 0.12 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$- 0.12$ に $1$ をかけます。

$0 - 0.12$

ステップ 2.2.1.1.4

$0$ から $0.12$ を引きます。

$- 0.12$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.12} d u = \int d t$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.12}) d u = \int d t$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{0.12}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.12} d u = \int d t$

ステップ 2.2.2.3

$0.12$ を $u$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{0.12 u} d u = \int d t$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{0.12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{0.12}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{0.12} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$- \frac{1}{0.12} (\ln (| u |) + C_{1})$ を $- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1}$ に書き換えます。

$- 1 \cdot 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.6.2

$- 1$ に $8.\overline{3}$ をかけます。

$- 8.\overline{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $500 - 0.12 P$ で置き換えます。

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) + C_{1} = t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$

ステップ 3

$P$ について解きます。

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ステップ 3.1

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ の各項を $- 8.\overline{3}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |) = t + C$ の各項を $- 8.\overline{3}$ で割ります。

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 8.\overline{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8.\overline{3} \ln (| 500 - 0.12 P |)}{- 8.\overline{3}} = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\ln (| 500 - 0.12 P |)$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = \frac{t}{- 8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.2

$1$ を掛けます。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3}} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.3

$8.\overline{3}$ を $8.\overline{3}$ で因数分解します。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - \frac{1 t}{8.\overline{3} (1)} + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.4

分数を分解します。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.5

$1$ を $8.\overline{3}$ で割ります。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.6

$t$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - (0.12 t) + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.7

$0.12$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t + \frac{C}{- 8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{C}{8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.9

$1$ を掛けます。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3}}$

ステップ 3.1.3.1.10

$8.\overline{3}$ を $8.\overline{3}$ で因数分解します。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - \frac{1 C}{8.\overline{3} (1)}$

ステップ 3.1.3.1.11

分数を分解します。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (\frac{1}{8.\overline{3}} \cdot \frac{C}{1})$

ステップ 3.1.3.1.12

$1$ を $8.\overline{3}$ で割ります。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 \frac{C}{1})$

ステップ 3.1.3.1.13

$C$ を $1$ で割ります。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - (0.12 C)$

ステップ 3.1.3.1.14

$0.12$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$

ステップ 3.2

$P$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 500 - 0.12 P |)} = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

ステップ 3.3

対数の定義を利用して $\ln (| 500 - 0.12 P |) = - 0.12 t - 0.12 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 0.12 t - 0.12 C} = | 500 - 0.12 P |$

ステップ 3.4

$P$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式を $| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ として書き換えます。

$| 500 - 0.12 P | = e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

ステップ 3.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$500 - 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺から $500$ を引きます。

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$

ステップ 3.4.4

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ の各項を $- 0.12$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$- 0.12 P = \pm e^{- 0.12 t - 0.12 C} - 500$ の各項を $- 0.12$ で割ります。

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$- 0.12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 0.12 P}{- 0.12} = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$P$ を $1$ で割ります。

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1.1

$\frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{- 0.12}$ を簡約します。

$P = \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.3.1.2

$1$ を掛けます。

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.3.1.3

$0.12$ を $0.12$ で因数分解します。

$P = \frac{1 (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C})}{0.12 (1)} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.3.1.4

分数を分解します。

$P = \frac{1}{0.12} \cdot \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.3.1.5

$1$ を $0.12$ で割ります。

$P = 8.\overline{3} \frac{\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}}{1} + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.3.1.6

$\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}$ を $1$ で割ります。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + \frac{- 500}{- 0.12}$

ステップ 3.4.4.3.1.7

$- 500$ を $- 0.12$ で割ります。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t - 0.12 C}) + 4166.\overline{6}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t + C}) + 4166.\overline{6}$

ステップ 4.2

$e^{- 0.12 t + C}$ を $e^{- 0.12 t} e^{C}$ に書き換えます。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{- 0.12 t} e^{C}) + 4166.\overline{6}$

ステップ 4.3

$e^{- 0.12 t}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$P = 8.\overline{3} (\pm e^{C} e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

ステップ 4.4

定数を正または負でまとめます。

$P = 8.\overline{3} (C e^{- 0.12 t}) + 4166.\overline{6}$

微分積分 例

微分積分例