微分積分例

$\frac{1}{e^{x}} + 2 = x - 3 \frac{d y}{d x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式を $x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$ として書き換えます。

$x - 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$

ステップ 1.1.3

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 3 \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} + 2 - x$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{e^{x}}}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{- 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

まとめる。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x} \cdot - 3} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.4

$- 3$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \cdot e^{x}} + \frac{2}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{- x}{- 3}$

ステップ 1.1.3.3.1.7

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (- \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} - \frac{2}{3} + \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 e^{x}} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{x}} d x) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$e^{x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

${(e^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.4.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.4.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int 1 e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.4.2.2

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int e^{- x} d x + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.5

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.5.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.5.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.5.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 2.3.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 2.3.5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int - e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (- \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 1 (\frac{1}{3}) \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.7.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - \frac{2}{3} d x + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.9

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \int \frac{x}{3} d x$

ステップ 2.3.10

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} \int x d x$

ステップ 2.3.11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \frac{2}{3} x + C_{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

ステップ 2.3.12

簡約します。

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ステップ 2.3.12.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

ステップ 2.3.12.2

簡約します。

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ステップ 2.3.12.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{5}$

ステップ 2.3.12.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

ステップ 2.3.13

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{3} e^{- x} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} x^{2} + K$

微分積分 例

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