微分積分例

$x (\frac{d y}{d x}) = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$

ステップ 1

$x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$x \frac{d y}{d x} = y + 2 x e^{- \frac{y}{x}}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

ステップ 1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{2 x e^{- \frac{y}{x}}}{x}$

ステップ 1.3.1.2

$2 e^{- \frac{y}{x}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2 e^{- \frac{y}{x}}$

ステップ 2

$V = \frac{y}{x}$ とします。 $V$ を $\frac{y}{x}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = V + 2 e^{- V}$

ステップ 3

$y$ について $V = \frac{y}{x}$ を解きます。

$y = V x$

ステップ 4

積の法則を利用し、 $x$ について $y = V x$ の微分係数を求めます。

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

ステップ 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ を $\frac{d y}{d x}$ に代入します。

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2 e^{- V}$

ステップ 6

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 6.1

変数を分けます。

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ステップ 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ について解きます。

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ステップ 6.1.1.1

$\frac{d V}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1.1.1.1

方程式の両辺から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 e^{- V} - V$

ステップ 6.1.1.1.2

$V + 2 e^{- V} - V$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.1.1.2.1

$V$ から $V$ を引きます。

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V} + 0$

ステップ 6.1.1.1.2.2

$2 e^{- V}$ と $0$ をたし算します。

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$

ステップ 6.1.1.2

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1.2.1

$x \frac{d V}{d x} = 2 e^{- V}$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

ステップ 6.1.1.2.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d V}{d x} = \frac{2 e^{- V}}{x}$

ステップ 6.1.2

両辺に $\frac{1}{e^{- V}}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{- V}} \cdot \frac{2 e^{- V}}{x}$

ステップ 6.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

まとめる。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

ステップ 6.1.3.2

$e^{- V}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 (2 e^{- V})}{e^{- V} x}$

ステップ 6.1.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cdot (2)}{x}$

ステップ 6.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{e^{- V}} \frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

ステップ 6.1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{- V}} d V = \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2

両辺を積分します。

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ステップ 6.2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{e^{- V}} d V = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2.2

左辺を積分します。

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ステップ 6.2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$e^{- V}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int 1 {(e^{- V})}^{- 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2

簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

${(e^{- V})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 1 e^{- V \cdot - 1} d V = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2.1.2

$- V \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int 1 e^{1 V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2.1.2.2

$V$ に $1$ をかけます。

$\int 1 e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$e^{V}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{V} d V = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2.2.2

$e^{V}$ の $V$ に関する積分は $e^{V}$ です。

$e^{V} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

ステップ 6.2.3

右辺を積分します。

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ステップ 6.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{V} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 6.2.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{V} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 6.2.3.3

簡約します。

$e^{V} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 6.2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$e^{V} = 2 \ln (| x |) + C$

ステップ 6.3

$V$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{V}) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

ステップ 6.3.2

左辺を展開します。

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ステップ 6.3.2.1

$V$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{V})$ を展開します。

$V \ln (e) = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

ステップ 6.3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$V \cdot 1 = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

ステップ 6.3.2.3

$V$ に $1$ をかけます。

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

ステップ 6.3.3

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2})$ を展開します。

$V = \ln (2 \ln (x) + C)$

ステップ 6.3.4

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$V = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

ステップ 7

$\frac{y}{x}$ を $V$ に代入します。

$\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$

ステップ 8

$y$ について $\frac{y}{x} = \ln (\ln (x^{2}) + C)$ を解きます。

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ステップ 8.1

両辺に $x$ を掛けます。

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x} x = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

ステップ 8.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \ln (\ln (x^{2}) + C) x$

ステップ 8.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$\ln (\ln (x^{2}) + C) x$ の因数を並べ替えます。

$y = x \ln (\ln (x^{2}) + C)$

微分積分 例

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